6.2. Приклад обчислення резерву чистої премії у випадку контракту страхування на дожиття
Резерв
чистої премії наприкінці
-го
року контракту страхування на дожиття
(термін:
,
застрахована сума: 1 виплачується через
років або наприкінці року смерті, щорічні
премії) позначається
і визначається співвідношенням
,
.
(2.1)
Очевидно,
що за означенням чистої премії
.
Резерв
чистої премії наприкінці року
термінового контракту страхування
позначається через
і дорівнює
.
(2.2)
Для ілюстрації
візьмемо застраховану суму в розмірі
1000 одиниць, початковий вік
і термін
.
Резерв чистої премії тоді дорівнює
(
)
для
.
Як і в розділі 2 теми 5, припустимо, що
і будемо використовувати для наших
обчислень функцію виживання Де Муавра
з
.
На першому кроці ми знаходимо чисту річну премію 88.96 для контракту на дожиття і 17.225 для термінового контракту. Зміна резервів чистої премії наведено в таблиці: числа можна легко перевірити за допомогою калькулятора.
Зміна резерву чистої премії для контракту на дожиття и термінового контракту
|
|
|
|
|
|
0 |
7.84805 |
698.15 |
0 |
135.18 |
0.0 |
1 |
7.24269 |
721.44 |
77 |
126.02 |
1.3 |
2 |
6.60433 |
745.99 |
158 |
116.08 |
2.3 |
3 |
5.93076 |
771.89 |
244 |
105.30 |
3.1 |
4 |
5.21956 |
799.25 |
335 |
93.61 |
3.7 |
5 |
4.46813 |
828.15 |
431 |
80.94 |
4.0 |
6 |
3.67365 |
858.71 |
532 |
67.22 |
3.9 |
7 |
2.83306 |
891.04 |
639 |
52.36 |
3.6 |
8 |
1.94305 |
925.27 |
752 |
36.27 |
2.8 |
9 |
1.00000 |
961.54 |
873 |
18.85 |
1.6 |
Резерв чистої премії контракту на дожиття стабільно зростає і досягає наприкінці застраховану суму. Резерв чистої премії 872.58 наприкінці 9-го року можна легко перевірити: Сума резерву чистої премії і останньої премії 88.96, плюс відсоток на обидві величини повинна бути достатня для забезпечення виплати 1000 через рік.
Резерв чистої премії для термінового контракту дуже малий і майже сталий. Спочатку він зростає, оскільки премія дещо перевищує відповідну величину для термінового однорічного контракту. В міру наближення до кінця резерв чистої премії знову зменшується, оскільки страхувальник не має обов’язків, якщо застрахований виживає. Сума резерву чистої премії наприкінці 9-го року (1.62) і останньої премії (17.23) забезпечує терміновий однорічний контракт для 40-летнего (18.85).
6.3. Рекурентні формули
Повернемося до загального контракту страхування життя, введеному в розділі 5 теми 5. Резерв чистої премії наприкінці року за означенням дорівнює
.
(3.1)
Для
отримання зв’язку між
і
підставимо
(3.2)
у
всі, крім перших
,
доданки в (3.1), і замінимо індекс сумування
на
.
В результаті співвідношення, яке поєднує
і
,
має вид
.
(3.3)
Це
співвідношення має таку інтерпретацію:
Якщо застрахований живий наприкінці
року
,
то резерв чистої премії, разом з очікуваним
поточним значенням премій, підлягає
виплаті протягом наступних
років, дорівнює сумі, яка необхідна
застрахованому для купівлі страхування
життя в цей період, плюс вартість
контракту на чисте дожиття
наприкінці року
.
Рекурентне рівняння для резерву чистої премії отримується при :
.
(3.4)
Таким
чином, резерв чистої премії можна
обчислити рекурентним чином в двох
напрямах: 1) Можна обчислити послідовно
в цій послідовності, починаючи зі
значення
;
2) Якщо контракт має скінчену тривалість
,
то можна обчислити
в цій послідовності, починаючи з відомого
значення
.
Наприклад, в числовому прикладі розділу
2 ми маємо
для контракту на дожиття і
для термінового страхування.
Рівняння
(3.4) показує, що сума резерву чистої
премії в момент
і премії дорівнює очікуваному поточному
значенню фонду, що необхідний наприкінці
року (він дорівнює
у випадку смерті, інакше -
).
Інша інтерпретація можлива, якщо записати
.
(3.5)
Величина
необхідна в будь-якому випадку. Додаткова
величина, яка необхідна у випадку смерті,
є чистою ризиковою
величиною.
Рівняння
(3.5) показує, що премію можна розділити
на дві компоненти,
,
де
(3.6)
є премія збережень, що використовується для збільшення резерву чистої премії, і
(3.7)
є
премія за терміновим однорічним
контрактом для покриття чистої ризикової
величини, або ризикова
премія. Тому операцію
в рік
можна інтерпретувати як комбінацію
операції чистого збереження і термінового
однорічного контракту. Ми припускаємо,
що застрахований живий в момент
.
Помноживши
(3.6) на
и сумуючи по
,
отримаємо
,
(3.8)
тобто резерв чистої премії дорівнює накопиченому значенню премій збережень, виплачених від початку контракту.
Розподіл на премію збережень і ризикову премію в числовому прикладі розділу 2 наведено в таблиці
-
Контракт на дожиття
Контракт на дожиття
Терміновий контракт
Терміновий контракт
0
74.17
14.79
1.22
16.00
1
75.24
13.71
0.97
16.26
2
76.43
12.53
0.70
16.53
3
77.74
11.22
0.42
16.81
4
79.18
9.78
0.12
17.10
5
80.77
8.18
-0.19
17.41
6
82.53
6.43
-0.52
17.74
7
84.47
4.49
-0.87
18.09
8
86.60
2.36
-1.24
18.46
9
88.96
0.00
-1.62
18.85
Записуючи (3.5) в формі
,
(3.9)
ми бачимо, що премія плюс відсоток, отриманий від резерву чистої премії, йдуть на зміну (збільшення або зменшення) резерву чистої премії і на забезпечення ризикової премії. Це рівняння є узагальненням співвідношення (6.7) теми 3.
Помноживши
(3.5) на
,
ми отримаємо рівняння, аналогічне
рівності (3.9):
.
(3.10)
Рівняння (3.9) і (3.10) відрізняються тим, що в (3.9) оцінка проводиться в момент , а в (3.10) – в момент .