4.3. Виплати декілька разів на рік

Розглянемо випадок, коли виплати суми проводяться разів на рік, тобто в моменти часу , поки людина жива. Чиста одиночна премія такого аннуітету позначається . По аналогії з (2.8) ми маємо

. (3.1)

Звідси отримуємо

. (3.2)

Це рівняння можна інтерпретувати так: Аннуітет життя, який виплачується разів на рік, можна розглядати як різницю двох вічних аннуітетів, які починаються в моменти 0 і . Усереднюючи, отримаємо (3.2).

Для отримання виразу через ми знову використаємо ситуацію А розділу 6 теми 2, звідки формула (3.10) теми 3 дозволяє виразити з (3.2) в термінах . Замінюючи потім , ми можемо записати (3.2) у вигляді

. (3.3)

Ввівши позначення

и , (3.4)

ми можемо записати (3.2) коротше

. (3.5)

При коефіцієнти і протабульовані нижче для (помісячні платежі) і (неперервні платежі).

M
12	1.000197	0.46651
	1.000198	0.50823

Як правило використовується апроксимація

, . (3.6)

Ця апроксимація отримується з розкладу ряд Тейлора коефіцієнтів в околі , тобто

, (3.7)

. (3.8)

Очевидно, що ця апроксимація корисна тільки у випадку, коли сила відсотку достатньо мала.

Чиста одиночна премія термінового аннуітету життя pre-numerando з платежами щорічно може бути тепер виражена з використанням і :

. (3.9)

Чисту одиночну премію аннуітету post-numerando можна обчислити в термінах відповідних аннуітетів pre-numerando:

. (3.10)

Повернемося до обчислення . Рівняння (2.8) і (3.1) дають точне співвідношення

, (3.11)

яке можна інтерпретувати так: Аннуітет життя з лівої сторони означає виплати суми в моменти часу і дорівнює різниці двох термінових аннуітетів, перший з виплатами в моменти , а другий – в моменти . Другий терміновий аннуітет в свою чергу може розглядатися як різниця двох нескінченних аннуітетів (які починаються в моменти і ). Перший терміновий аннуітет має таке ж поточне значення, як аннуітет pre-numerando з щорічними виплатами сумі . Усереднюючи ці поточні значення, отримуємо (3.11).

При ситуації А використання (3.10) дає

. (3.12)

Ця формула має очевидну інтерпретацію, на відміну від математично еквівалентної формули (3.5).

4.4. Змінні аннуітети

Розглянемо аннуітети життя, для яких виплати дорівнюють в моменти часу . Поточне значення дорівнює

, (4.1)

а чиста одиночна премія визначається співвідношенням

. (4.2)

Розглянемо тепер загальний аннуітет з виплатами в моменти часу . Почнемо з заміни виплат протягом кожного року однією річною виплатою на початку року:

, . (4.3)

Коректуючий доданок для року смерті означає від’ємне страхування, застрахована сума в проміжку , дорівнює поточному значенню пропущених виплат

, (4.4)

де - множина тих індексів , для яких . Для обчислення одиночної премії ми використаємо ситуацію А і діємо по аналогії з розділом 4 лекції 3. Підставляючи (4.4) в вираз (4.10) лекції 3, отримуємо

. (4.5)

Чиста одиночна премія для загального аннуітету життя з виплатами протягом кожного року дорівнює

, (4.6)

з коефіцієнтами, які визначаються з (4.3) і (4.5)

Випадок неперервно виплачуваного аннуітету отримується спрямуванням . Нехай виплата в момент дорівнює . Тоді поточне значення виплат визначається співвідношенням

. (4.7)

Чиста одиночна премія

(4.8)

може бути обчислена з використанням формули (4.6), якщо коефіцієнти визначити співвідношенням

, . (4.10)

Розглянемо приклад неперервного аннуітету життя з експоненціальним зростанням

. (4.11)

З (4.9) і (4.10) отримаємо

(4.12)

і

(4.13)

при , і

, (4.14)

при . В випадку постійної величини виплат ( ) рівності (4.12) і (4.13) спрощуються

, , (4.15)

що відповідає (3.12).