3.6. Рекурсивні формули

Рекурсивні формули можуть бути використані для написання алгоритмів і, крім цього, вони мають цікаву теоретичну інтерпретацію.

Почнемо з безтермінового контракту страхування одиничної суми з виплатою наприкінці року смерті. Очевидно, справедливим є рівняння

. (6.1)

Таким чином, значення можуть бути знайдені рекурсивно, починаючи з максимально можливого віку. Рекурсивне рівняння може бути доведене алгебраїчно підстановкою співвідношення

(6.2)

у всі доданки, крім першого, суми (2.3). Імовірнісне доведення може бути побудоване на властивості

. (6.3)

Змістовна інтерпретація (6.3): чиста одиночна премія для віку дорівнює очікуваному значенню випадкової змінної, визначеної як дисконтована сума страхування у випадку смерті протягом року, і дисконтової чистої одиночної премії для віку у випадку виживання.

Друга інтерпретація також стає очевидною, якщо ми запишемо (6.1) у вигляді

. (6.4)

Перш за все, кількість потрібно зарезервувати в будь-якому випадку (смерть чи виживання). У випадку смерті додаткова сума необхідна для забезпечення виплати. Чиста одиночна премія термінового контракту терміном на 1 рік з такою страховою сумою дорівнює .

Застосувавши (6.4) до віку , ми отримаємо

, . (6.5)

Помноживши попереднє рівняння на і сумуючи за всіма значеннями , отримуємо

, (6.6)

так що чиста одиночна премія для віку , очевидно, дорівнює сумі чистих одиночних премій серії термінових однорічних контрактів.

Рівняння (6.4) можна також записати у вигляді

. (6.7)

Таким чином, дохід по відсотку має подвійну дію: з однієї сторони він збільшує чисту одиночну премію (від віку до віку ), с іншої сторони, він покриває терміновий фіктивний однорічний контракт.

Неперервним аналогом рекурсивної формули є диференційне рівняння. Розглянемо , яке є очікуваним значенням для . При ми маємо

. (6.8)

Звідси

. (6.9)

Поділивши на і спрямовуючи , отримуємо

. (6.10)

Це рівняння можна переписати в формі, аналогічній (6.7):

. (6.11)

Диференційне рівняння має аналогічну (6.7) інтерпретацію для нескінченно малого інтервалу часу, що очевидно при множенні (6.11) на .

3.7. Глосарій

Безтермінове страхування життя	Whole life insurance
Варіація	Variance
Дробовий вік	Fractional age
Застрахована сума (страхова сума, сума страхування)	Sum insured
Позика	Loan
Лінійно зростаюче (спадаюче) страхування життя	Standard increasing (decreasing) life insurance
Очікуване поточне значення	Expected present Value
Відкладене страхування	Deferred insurance
Термінове страхування	Term insurance
Застрахований	Insured Страхователь (т.е., застрахованный)
Страховик	Insurer
Таблиця смертності	Life table
Поточне значення	Present value
Технічна відсоткова ставка	Technical rate of interest
Умовний розподіл	Conditional distribution
Чиста одиночна премія	Net single premium
Чисте дожиття	Pure endowment

Контрольні запитання для самоперевірки:

1. Що таке чиста одинична премія?

2. Які є основні види страхування?

3. Які умови безтермінового страхування?

4. Чим відрізняються умови страхування чистого дожиття від страхування дожиття?

5. Як визначити чисту одиничну премію, коли виплати передбачаються в момент смерті?

6. Перелічіть прості види страхування?

7. За якою формулою визначається чиста одинична премія для чистого дожиття?

8. Які є стандартні види змінного страхування?

9. Охарактеризуйте лінійно зростаюче безтермінове страхування?