2. Эмпирические основы науки

Исходной точкой развития науки любой конкретной предметной об­ласти является донаучный период, когда методы практической деятельно­сти формируются стихийно и не передаются от человека к человеку.

Следующим является период начального развития науки соответст­вующей предметной области на простейшем эмпирическом уровне. На эм­пирическом уровне познания широко используются такие познавательные приёмы, как сравнение, измерение, индукция, дедукция, анализ, синтез.

Простейший эмпирический уровень реализует лишь возможности опи­сания и предсказания фактов, свойств и явлений рассматриваемой пред­метной области, но, как правило, не даёт им объяснения.

Собственно эмпирические основы науки рассматриваемой пред­метной области составляют следующие элементы:

факты, относящиеся к данной предметной области, получаемые с по­мощью наблюдений и экспериментов; эмпирические гипотезы, концепции и соотношения, вытекающие из фактов, известных науке (к известным научным результатам от­носятся те, которые опубликованы, при этом юридическую силу имеет лишь официальная, зарегистрированная публикация, а при­знание публикации, произведенной неофициально, считается делом этики);

эмпирические данные науки (эмпирические научные данные),

представляющие собой совокупность научных (эмпирических) вы­водов и рекомендаций, вытекающих из эмпирических гипотез, кон­цепций и соотношений.

Дадим определения введенным терминам.

Факт — реальное событие, происшедшее или происходящее явление (процесс).

Среди фактов особо выделяют научные факты, имеющие описание и объяснение на основе обобщения определенного класса событий (явле­ний, процессов).

Гипотеза — научное предположение, выдвигаемое для объяснения ка­ких-нибудь явлений.

Гипо́теза (от др.-греч. ὑπόθεσις — «основание», «предположение») — недоказанное утверждение, предположение или догадка.

Как правило, гипотеза высказывается на основе ряда подтверждающих её наблюдений (примеров), и поэтому выглядит правдоподобно. Гипотезу впоследствии или доказывают, превращая её в установленный факт (теорему), или же опровергают (например, указывая контрпример), переводя в разряд ложных утверждений.

Недоказанная и неопровергнутая гипотеза называется открытой проблемой.

Известные гипотезы

• Великая теорема Ферма, более 300 лет была открытой проблемой, доказана Andrew Wiles в 1995 году

• Гипотеза Пуанкаре, доказана Григорием Перельманом в 2003 году

• Гипотеза Римана, открытая проблема

• Гипотеза Эйнштейна

• Проблема Гольдбаха, открытая проблема

• Гипотеза Мертенса, опровергнута

• Гипотеза Эйлера, опровергнута

• Гипотеза о существовании нечетного совершенного числа, открытая проблема

• Гипотеза Сепира — Уорфа

• Гипотеза Артина

Гипотеза Тушмаловой Н. А. о общебиологическом единстве молекулярных механизмов памяти

Вели́кая теоре́ма Ферма́ (также Последняя Теорема Ферма) — наверное самая популярная теорема математики; её условие формулируется на понятийном уровне среднего общего образования, а доказательство теоремы искали многие математики в течение долгого периода времени. Теорема утверждает, что уравнение

Для любого целого n > 2 уравнение aⁿ + bⁿ = cⁿ

не имеет натуральных решений a, b и c.

Теорема была сформулирована Пьером Ферма в 1637 на полях книги «Арифметика» Диофанта с припиской, что найденное им остроумное доказательство этой теоремы слишком длинно, чтобы его можно было здесь поместить. Позже Ферма опубликовал доказательство случая n = 4, что добавляет сомнений в том, что у него было доказательство общего случая, иначе он упомянул бы о нём в этой статье.

Эйлер в 1770 доказал теорему для случая n = 3, Дирихле и Лежандр в 1825 — для n = 5. Свой вклад в доказательство внесли Ламе, Софи Жермен, Куммер и многие другие выдающиеся математики. Усилия по доказательству теоремы привели к получению многих результатов современной теории чисел.

Из гипотезы Морделла, доказанной Фальтингсом в 1983, следует, что уравнение an + bn = cn при n > 3 может иметь лишь конечное число взаимно простых решений.

Последний шаг в доказательстве теоремы был сделан только в сентябре 1994 года Эндрю Уайлсом. 130-страничное доказательство было опубликовано в журнале «Annals of Mathematics». Доказательство основано на том, что Великая теорема Ферма является следствием гипотезы Таниямы. [1]

Гипотеза Пуанкаре

Гипотеза Пуанкаре считается наиболее известной проблемой топологии. Неформально говоря, она утверждает, что всякий «трехмерный объект», обладающий некоторыми свойствами трехмерной сферы (например, каждая петля внутри него должна быть стягиваема), обязан быть сферой с точностью до деформации. Попытки доказать гипотезу Пуанкаре, как успешные, так и неудачные, привели к многочисленным продвижениям в топологии многообразий.

В исходной форме гипотеза утверждает, что: Всякое односвязное замкнутое трёхмерное многообразие гомеоморфно трехмерной сфере.

Гипотеза сформулирована Пуанкаре в 1904 г. Доказательство гипотезы Тёрстона о геометризации и в частности доказательство гипотезы Пуанкаре опубликовано только в 2002 г. петербургским математиком Григорием Перельманом (Филдсовская медаль 2006 г.) и признано верным только спустя четыре года.

Обобщённая гипотеза Пуанкаре

Обобщенная гипотеза Пуанкаре утверждает, что: Для любого n всякое многообразие размерности n гомотопически эквивалентно сфере размерности n тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно ей.

Исходный вариант является частным случаем обобщенной гипотезы при n = 3 и только для этого случая не существовало доказательства. Доказательства для получены в начале 1960-1970-х почти одновременно Смейлом, независимо и другими методами Столлингсом (для , его доказательство было распространено на случаи n = 5 и 6 Зееманом). Доказательство значительно более трудного случая n = 4 было получено только в 1982 г. Фридманом (Филдсовская медаль 1986 г.).

Гипо́теза Ри́мана о распределении нулей дзета-функции Римана была сформулирована Бернхардом Риманом в 1859 году.

Функция ζ(s) определена для всех комплексных , и имеет нули для отрицательных целых . Из функционального уравнения , и явного выражения при следует, что все остальные нули, называемые «нетривиальными», расположены в полосе симметрично относительно так называемой «критической линии» . Гипотеза Римана утверждает что:

Все нетривиальные нули дзета-функции имеют действительную часть, равную

Обобщённая гипотеза Римана состоит из того же самого утверждения для обобщений дзета-функций, называемых L-функциями Дирихле.

Большинство математиков верят, что гипотеза верна. На 2004 год проверены более 1013 первых решений. [1]

Как известно, не существует простой закономерности, описывающей распределение простых чисел среди натуральных. Риман обнаружил, что число π(x) простых чисел, не превосходящих x, выражается через распределение нетривиальных нулей дзета-функции.

В 1896 Адамар и Валле-Пуссен независимо доказали, что нули дзета-функции не могут лежать на прямых и .

В 1900 Давид Гильберт включил гипотезу Римана в список 23 нерешённых проблем как часть восьмой проблемы совместно с гипотезой Гольдбаха.

В 1901 Хельге фон Кох показал, что гипотеза Римана эквивалентна следующему утверждению о распределении простых чисел:

при

Вообще, многие утверждения о распределении простых чисел, в том числе о сложности некоторых целочисленных алгоритмов, доказаны в предположении верности гипотезы Римана.

В 1914 Харди доказал, что на критической линии находится бесконечно много нулей, а позже Харди и Литлвуд дали оценку снизу доли нулей, лежащей на критической линии, которую потом улучшали разные математики.

Некоторые нетривиальные нули располагаются экстремально близко друг к другу. Это свойство известно как «явление Лемера (Lehmer)».

Титчмарш, Ворос в 1987 показали, что дзета-функция может быть разложена в произведение через свои нетривиальные нули в разложение Адамара.

Гипотеза Римана является одной из семи «проблем тысячелетия», за её доказательство Институт математики Клея (Clay Mathematics Institute, Кембридж, Массачусетс) выплатит приз в 1 млн. долларов. К рассмотрению принимаются решения, которые были опубликованы в известном математическом журнале, причём не ранее, чем через 2 года после публикации (для всестороннего рассмотрения математическим сообществом). http://www.claymath.org/millennium/

Группа математиков Университета Пардье (Purdue University, USA) под руководством Луи де Бранж де Бурсиа (Louis De Branges de Bourcia) предложила доказательство гипотезы Римана, которое на сегодняшний день не опровергнуто: [2]

Интересные факты

Знаменит ответ Гильберта на вопрос о том, каковы будут его действия, если он по какой-то причине проспит пятьсот лет и вдруг проснется. Математик ответил, что самым первым делом он спросит была ли доказана гипотеза Римана.

 

Проблема Гольдбаха — это одна из самых старых до сих пор не разрешённых проблем математики. При этом она очень просто формулируется:

Любое чётное число больше двух можно представить в виде суммы двух простых чисел.

Например,

4 = 2 + 2

6 = 3 + 3

8 = 3 + 5

10 = 3 + 7 = 5 + 5

12 = 5 + 7

14 = 3 + 11 = 7 + 7

16 = 3 + 13 = 5 + 11

18 = 5 + 13 = 7 + 11

20 = 3 + 17 = 7 + 13

и так далее.

История

В 1742 году прусский математик Кристиан Гольдбах послал письмо Леонарду Эйлеру, в котором он высказал следующее предположение:

Каждое нечётное число большее 5 можно представить в виде суммы трёх простых чисел.

Эйлер заинтересовался проблемой и выдвинул более сильную гипотезу:

Каждое чётное число большее двух можно представить в виде суммы двух простых чисел.

Первое утверждение называется слабой проблемой Гольдбаха, второе — сильной проблемой Гольдбаха (или проблемой Гольдбаха в формулировке Эйлера).

Из справедливости утверждения сильной проблемы Гольдбаха автоматически следует справедливость слабой проблемы Гольдбаха: если каждое чётное число > 4 есть сумма двух простых чисел, то добавляя 3 к каждому чётному числу, можно получить все нечётные числа > 7.

Слабая проблема Гольдбаха

Слабая проблема Гольдбаха формулируется так:

Каждое нечётное число больше 7 можно представить в виде суммы трёх нечётных простых.

Эквивалентная формулировка:

Каждое нечётное число больше 5 можно представить в виде суммы трёх простых.

(Каждое простое число может встречаться больше одного раза).

Утверждение этой проблемы пока не доказано, хотя проведено много полезных попыток. В 1923 году математики Харди и Литлвуд показали, что в случае справедливости некоторого обобщения гипотезы Римана, проблема Гольдбаха верна для всех достаточно больших нечётных чисел.

В 1937 году Виноградов представил доказательство, не зависящее от справедливости гипотезы Римана, т. е. доказал, что любое достаточно большое нечётное число может быть представлено в виде суммы трёх простых. Сам Виноградов не дал явной оценки для этого «достаточно большого числа», но его студент К. Бороздин доказал, что оно не превышает . Это число содержит 6 миллионов цифр, что делает невозможным прямую проверку всех меньших чисел. В дальнейшем этот результат многократно улучшали, пока в 1989 году Ванг и Чен не опустили нижнюю грань до , что тем не менее по-прежнему вне пределов явной проверки меньших чисел.

В 1997 году Deshouillers, Effinger, Te Riele (?) и Зиновьев показали, что обобщённая гипотеза Римана влечёт справедливость слабой проблемы Гольдбаха. Они доказали её справедливость для чисел превышающих 1020, справедливость утверждения для меньших чисел легко проверить на компьютере.

Сильная проблема Гольдбаха

Сильная проблема Гольдбаха формулируется так:

Любое чётное число больше двух можно представить в виде суммы двух простых чисел.

Сильная проблема Гольдбаха далека от решения.

Виноградов в 1937 и Теодор Эстерманн в 1938 г. показали, что почти все чётные числа представимы в виде суммы двух простых чисел (доля непредставимых, если они есть, стремится к нулю). Этот результат немного усилен в 1975 Хьюгом Монтгомери (Hugh Montgomery) и Робертом Чарльзом Воганом (Robert Charles Vaughan). Они показали, что существуют положительные константы c и C, такие что количество чётных чисел, не больших N, непредставимых в виде суммы двух простых чисел, не превышает CN1 − c.

В 1939, Шнирельман доказал, что любое чётное число представимо в виде суммы не более 300 000 простых чисел. Этот результат многократно улучшался. В 1995 Ремер (Ramaré) доказал, что любое чётное число — сумма не более 7 простых чисел.

В 1966 Чэнь Цзинжунь (Chen Jingrun) доказал, что любое достаточно большое чётное число представимо или в виде суммы двух простых чисел, или же в виде суммы простого числа и полупростого (произведения двух простых чисел). Например, .

На март 2004 года, сильная гипотеза Гольдбаха проверена для всех чётных чисел, не превышающих .

Гипотеза Эйлера утверждает, что для любого натурального числа n > 2 никакую n-ю степень натурального числа нельзя представить в виде суммы (n − 1) n-х степеней других натуральных чисел. То есть, уравнения:

не имеют решения в натуральных числах.

Гипотеза была высказана в 1769 Леонардом Эйлером.

В 1966 Л. Ландер (L. J. Lander) и Т. Паркин (T. R. Parkin) нашли первый контрпример к гипотезе Эйлера:

275 + 845 + 1105 + 1335 = 1445.

В 1988 Ноам Элкис (Noam Elkies) нашёл контрпример для случая n = 4:

26824404 + 153656394 + 187967604 = 206156734.

Позже Роджер Фрай (Roger Frye) нашёл наименьший контрпример для n = 4:

958004 + 2175194 + 4145604 = 4224814.

Соверше́нное число́ (др.-греч. ἀριθμὸς τέλειος) — натуральное число, равное сумме всех своих собственных делителей (т. е. всех положительных делителей, отличных от самого́ числа).Совершенное число — это число, дружественное самому себе.

Первое совершенное число — 6 (1 + 2 + 3 = 6), следующее — 28 (1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28). По мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются всё реже. Третье совершенное число — 496, четвёртое — 8128, пятое — 33 550 336, шестое — 8 589 869 056 (последовательность A000396 в OEIS).

Евклид обнаружил, а Эйлер позднее строго доказал, что каждое чётное совершенное число можно представить в виде 2p - 1(2p - 1), где p такое, что 2p - 1 является простым числом. Числа вида 2p - 1 называются числами Мерсенна, каждому простому числу Мерсенна соответствует чётное совершенное число, и наоборот. В двоичном виде любое чётное совершенное число можно представить как , где число единиц и нулей равно соответственно p и p − 1.

Вопрос о существовании нечётного совершенного числа открыт до сих пор. Известно, что если такое число существует, то оно должно быть больше 10300.

Неизвестно также, бесконечно ли количество всех совершенных чисел.

История изучения

Совершенный характер чисел 6 и 28 был признан многими культурами, обратившими внимание на то, что Луна совершает оборот вокруг Земли каждые 28 дней, и утверждавшими, что Бог сотворил мир за 6 дней. В сочинении «Град Божий» Св. Августин высказал мысль о том, что хотя Бог мог сотворить мир в одно мгновенье, Он предпочел сотворить его за 6 дней, дабы поразмыслить над совершенством мира. По мнению Св. Августина, число 6 совершенно не потому, что Бог избрал его, а потому, что совершенство внутренне присуще природе этого числа. «Число 6 совершенно само по себе, а не потому, что Господь сотворил все сущее за 6 дней; скорее наоборот, Бог сотворил все сущее за 6 дней потому, что это число совершенно. И оно оставалось бы совершенным, даже если бы не было сотворения за 6 дней».

Совершенные числа были предметом пристального внимания пифагорейцев, хотя в их время были известны только 2 первых совершенных числа. В частности, Пифагор заметил, что совершенные числа не только равны сумме своих делителей, но и обладают некоторыми другими изящными свойствами. Например, любое чётное совершенное число равно сумме последовательных натуральных чисел, начиная с единицы (т. е. является треугольным числом):

6	= 1 + 2 + 3,
28	= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7,
496	= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ... + 30 + 31,
8128	= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ... + 126 + 127.

Кроме того, одно из его открытий состояло в том, что совершенство чисел тесно связано с «двоичностью». Числа , , и т. д. называются степенями числа 2 и могут быть представлены в виде 2n, где n — число перемноженных двоек. Все степени числа 2 чуть-чуть «не достают» до того, чтобы стать совершенными, так как сумма их делителей всегда на единицу меньше самого числа, т. е. все степени двойки слегка недостаточны:

22		= 4,	1 + 2	= 3,
23		= 8,	1 + 2 + 4	= 7,
24		= 16,	1 + 2 + 4 + 8	= 15,
25		= 32,	1 + 2 + 4 + 8 + 16	= 31,

Двумя столетиями спустя Евклид уточнил замеченную Пифагором взаимосвязь между двоичностью и совершенством. Евклид открыл, что каждое чётное совершенное число имеет вид 2p - 1(2p - 1), где 2p - 1 является простым числом. Благодаря этой формуле Евклид сумел найти третье и четвёртое совершенные числа. Пятое совершенное число по формуле Евклида удалось найти только в XVI веке.

Так как каждому чётному совершенному числу соответствует некоторое простое число Мерсенна (и наоборот), то открытие новых чётных совершенных чисел равносильно открытию новых простых чисел Мерсенна, распределённым поиском которых занимается проект GIMPS. На данный момент (ноябрь 2006) известно 44 простых числа Мерсенна, а значит, и 44 чётных совершенных числа.

Доказано, что все чётные совершенные числа (кроме 6) являются суммой кубов последовательных нечётных натуральных чисел: (). Кроме того, известно, что сумма всех чисел, обратных делителям совершенного числа (включая его самого), равна 2. Все чётные совершенные числа (кроме 6) заканчиваются в десятичной записи на 16, 28, 36, 56, 76 или 96. Как уже было отмечено выше, все чётные совершенные числа являются треугольными числами; кроме того, они являются шестиугольными числами, т.е. могут быть представлены в виде n(2n−1).

 

Гипотеза Сепира — Уорфа

Гипотеза Сепира — Уорфа (англ. Sapir-Whorf hypothesis), гипотеза лингвистической относительности — концепция, разработанная в 30-х годах XX века, согласно которой структура языка определяет мышление и способ познания реальности.

Предполагается, что люди, говорящие на разных языках, по-разному воспринимают мир и по-разному мыслят. В частности, отношение к таким фундаментальным категориям, как пространство и время, зависит в первую очередь от родного языка индивида; из языковых характеристик европейских языков (так называемого «среднеевропейского стандарта») выводятся не только ключевые особенности европейской культуры, но и важнейшие достижения европейской науки (например, картина мира, отражённая в классической ньютоновской механике). Автором концепции является американский этнолингвист-любитель Б. Л. Уорф; эта концепция была созвучна некоторым взглядам крупнейшего американского лингвиста первой половины XX века Э. Сепира (оказывавшего Уорфу поддержку) и поэтому обычно называется не «гипотезой Уорфа», а «гипотезой Сепира — Уорфа». Сходные идеи ранее высказывал и Вильгельм фон Гумбольдт.

В своей наиболее радикальной формулировке гипотеза Сепира — Уорфа в настоящее время не имеет сторонников среди серьёзных профессиональных лингвистов. Данные языка хопи, на которые опирались многие выводы Уорфа, как указывали специалисты по языкам североамериканских индейцев, могут интерпретироваться по-разному. С другой стороны, сама возможность влияния языковых категорий на восприятие мира является предметом активной дискуссии в этнолингвистике, психолингвистике и теоретической семантике.

Одним из стимулов создания в 1950-х годах искусственного языка логлан была попытка проверить данную гипотезу на практике. В сообществе наиболее динамично развивающегося идиома этого языка - ложбана - идея его использования для проверки этой гипотезы регулярно обсуждается.

За пределами лингвистического сообщества гипотеза Сепира — Уорфа известна благодаря ярким и парадоксальным формулировкам, в которые она часто облекается. Косвенным свидетельством её проникновения в массовое сознание может служить, например, так наз. «феминистский вариант» гипотезы, согласно которому язык — в силу своего андроцентризма — навязывает говорящим на нём людям картину мира, в которой женщинам отводится подчинённая роль. В связи с этим феминистки требуют реформирования языка (например, в английском языке — изменения правил употребления анафорических местоимений he и she, замены словообразовательного элемента -man на -person, и т. п.), видимо, считая, что изменение языка приведёт к изменению сознания говорящих. Сходная практика «управления языком» (основанная на имплицитной вере в то, что язык способен сам по себе создавать реальность) была свойственна и многим тоталитарным режимам прошлого и настоящего. В антиутопии Оруэлла «1984» подробно описаны свойства созданного таким образом «новояза» (англ. newspeak).

Гипотеза Артина — это Открытая проблема в Теории чисел, касающаяся существования модулей, по которым данное число является первообразным корнем.

Постановка задачи

2 является первообразным корнем по модулю 3: 2¹ ≡ 2 (mod 3), 2² ≡ 1 (mod 3), чем исчерпываются все возможные остатки по модулю 3. То же самое число 2 является первообразным корнем по модулю 5: 2¹ ≡ 2 (mod 5), 2² ≡ 4 (mod 5), 2³ ≡ 3 (mod 5), 2⁴ ≡ 1 (mod 5). А вот по модулю 7 двойка первообразным корнем не является, так как не существует такой степени, что . Возникает вопрос, конечно или бесконечно количество таких простых чисел, что (например) 2 является первообразным корнем по их модулю. Гипотеза Артина, как раз утверждает, что

Формулировка гипотезы

Для любого целого числа a, не являющегося точным квадратом, существует бесконечно много таких простых чисел p, что a есть первообразный корень по модулю p.

В настоящий момент не известно даже, истинна ли гипотеза для конкретного числа a = 2.

Уравнения Навье — Стокса

Уравнения Навье — Стокса (англ. Navier-Stokes) — система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая движение вязкой жидкости. Уравнения Навье — Стокса являются одними из важнейших в гидродинамике и применяются в математическом моделировании многих природных явлений и технических задач. Названы по имени французского физика Луи Навье и британского математика Джорджа Стокса.

Система состоит из двух уравнений:

• уравнения движения,

• уравнения неразрывности.

В векторном виде для несжимаемой жидкости они записываются следующим образом:

где: — оператор Гамильтона, Δ — оператор Лапласа, — вектор скорости, t — время, ν — коэффициент кинематической вязкости, ρ — плотность, P — давление, — вектор плотности массовых сил.

Иногда в систему уравнений Навье-Стокса дополнительно включают уравнение теплопроводности и уравнение состояния.

Анализ и решение уравнений

До сих пор решения этих уравнений найдены лишь в некоторых частных случаях. Решение уравнений в общем виде является одной из открытых проблем, за решение которых Математический институт Клэя назначил премию в 1 млн. долларов США.Ссылка на возможное доказательство единственности, существования и ограниченности общего решения http://arxiv.org/abs/math/0609740v5

Также ряд коммерческих фирм, например Боинг, назначили свои премии. В настоящее время существует несколько частных видов уравнений, которые решены в аналитическом виде. В остальных случаях используется численное моделирование.

Точные общие аналитические решения системы Навье-Стокса для пространственного или плоского потока - нелинейные и сильно зависят от начальных и граничных условий.

Можно выделить три основных простейших класса решений.

1. Солитоны и нелинейные волны. Обычный солитон может являться решением системы при очень сложных граничных условиях.Он наблюдался экспериментально в канале инженером Скотом Расселом.

2. Решение, которое существует конечное время. Так называемые режимы с обострением (blow-up). Капнув каплю на поверхность воды, можно наблюдать всплеск, который существует конечное время, как и кольцевой вихрь ядерного взрыва. Гипотеза об этом выдвинута Jean Leray в 1933 г. Он предположил, что в жидкости турбулентность(хаос) образуется, благодаря образованию точек или вихревой нити, на которой некоторая компонента скорости становится бесконечной.

3. Звуковые колебания. При малой амплитуде волн они также становятся решением.Нелинейные члены уравнения можно отбросить, так как они не влияют на решение.И решением являются гармонические функции синуса или косинуса. То есть звуковые колебания, которые мы слышим.

Основные свойства системы Навье-Стокса.

1. При превышении числа Рейнольдса выше некоторого критического числа, аналитическое точное решение для пространственного или плоского потока имеют хаотический вид.Это так называемая турбулентность. В частном случае, оно связано с теорией Фейгенбаума или другими сценариями перехода к хаосу. При уменьшении числа Рейнольдса ниже критического, решение опять принимает не хаотический вид.

2. Исключительная чувствительность к изменению коэффициентов уравнения при турбулентном режиме. При изменении числа Re на 0.05 % решения совершенно отличаются друг от друга.

3. При сравнении решения уравнения Навье-Стокса с решениями моделей в биологии видно, что первые обладают двумя важными свойствами.

a.Репликацией(размножением) решения.

b.Конкуренцией.

Но живые организмы обладают ещё мутациями и симбиозом. То есть, свойства живых организмов частично заложены в механических свойствах воды. Волны(вихри) могут делиться и сливаться друг с другом и конкурировать друг с другом за источники вещества, импульса. Решения не описывают эффекты связанные с поверхностным натяжением. Хаотичные решения могут получаться либо при простых начальных условиях, либо при задании начальных условий некоторой случайной функцией. Из аналитических точных решений системы уравнений Навье-Стокса вытекает, что турбулентность-это самоподдерживающаяся гидромеханическая система, за счет притока массы, импульса, момента импульса, энергии, извне, в которой нет дарвиновского отбора, но есть простейшие виды конкуренции за потоки массы, импульса, момента импульса, энергии.

Применение

Одним из применений системы уравнений Навье-Стокса является описание течений в мантии Земли ("проблема Динамо").

Вариации уравнения Навье-Стокса используются для описания движения воздушных масс атмосферы, в частности, при формировании прогноза погоды.

Диаграмма классов, по которой P ≠ NP.

В теории алгоритмов вопрос о равенстве классов сложности P и NP является одной из центральных открытых проблем уже более 30 лет. Если на него будет дан утвердительный ответ, это будет означать, что теоретически возможно решать многие задачи существенно быстрее, чем сейчас.

Классы P и NP

В конечном счете проблема P = NP состоит в следующем: если положительный ответ на какой-то вопрос можно быстро проверить (за полиномиальное время), то правда ли что ответ на этот вопрос можно быстро найти (за полиномиальное время и используя полиномиальную память)?

Например (задача о суммах подмножеств), верно ли что среди чисел {−2, −3, 15, 14, 7, −10, ...} есть такие, что их сумма равна 0? Ответ: ДА, потому что −2 −3 + 15 −10 = 0, легко проверяется несколькими сложениями (информация, необходимая для проверки положительного ответа, называется сертификат). Следует ли отсюда, что так же легко подобрать эти числа? Проверить сертификат так же легко, как найти его? Кажется, что подобрать числа сложнее (не доказано).

Ответ на вопрос о равенстве классов P и NP определил бы, действительно ли задачу легче проверить, чем решить (P≠NP). Или решить столь же просто, что и проверить (P=NP).

Это применимо ко всем подобным задачам, а не только к задаче о суммах подмножеств. Так же это применимо к задачам, ответ на которые сложнее, чем ДА или НЕТ.

Содержание проблемы

Отношения между классами P и NP изучается в теории вычислительной сложности (разделе теории вычислений), изучающей ресурсы, необходимые для решения некоторой задачи. Наиболее общие ресурсы это время (сколько нужно сделать шагов) и память (сколько памяти потребуется для решения задачи)

История

Из определения классов P и NP сразу вытекает следствие: . Однако до сих пор ничего не известно о строгости этого включения, т. е. существует ли алгоритм, лежащий в NP, но не лежащий в P. Если такого алгоритма не существует, то все задачи, принадлежащие классу NP, можно будет решать за полиномиальное время, что сулит огромную выгоду с вычислительной точки зрения. Сейчас самые сложные NP-задачи (так называемые NP-полные задачи) можно решить за экспоненциальное время, что почти всегда неприемлемо.

Впервые вопрос о равенстве классов был поставлен независимо Куком и Левиным в 1971 г. В настоящее время большинство математиков считают, что эти классы не равны. Согласно опросу, проведённому в 2002 г. среди 100 учёных, 61 человек считает, что ответ — «не равны», 9 — «равны», 22 затруднились ответить и 8 считают, что вопрос не зависит от текущей системы аксиом и, таким образом, не может быть доказан или опровергнут.

В настоящий момент проблема равенства классов P и NP является одной из семи проблем, за решение которых Математический институт Клэя назначил премию в 1 млн. долларов США.

Ссылки

• Официальное описание проблемы — С. Кук, на английском языке.

• «P=?NP» — статья Сергея Николенко в издании «Компьютерра Online».

• Джон Хопкрофт, Раджив Мотвани, Джеффри Ульман Введение в теорию автоматов, языков и вычислений = Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation. — М.: «Вильямс», 2002. — С. 528. ISBN 0-201-44124-1

• Gerhard J. Woeginger. The P-versus-NP page. Список ссылок на предложенные «решения» данной проблемы. Некоторые из них утверждают равенство P и NP, некоторые — обратное (eng).

 Гипотеза Пуанкаре

Гипотеза Пуанкаре считается наиболее известной проблемой топологии. Неформально говоря, она утверждает, что всякий «трехмерный объект», обладающий некоторыми свойствами трехмерной сферы (например, каждая петля внутри него должна быть стягиваема), обязан быть сферой с точностью до деформации. Попытки доказать гипотезу Пуанкаре, как успешные, так и неудачные, привели к многочисленным продвижениям в топологии многообразий.

В исходной форме гипотеза утверждает, что:

Всякое односвязное замкнутое трёхмерное многообразие гомеоморфно трехмерной сфере.

Гипотеза сформулирована Пуанкаре в 1904 г. Доказательство гипотезы Тёрстона о геометризации и в частности доказательство гипотезы Пуанкаре опубликовано только в 2002 г. петербургским математиком Григорием Перельманом (Филдсовская медаль 2006 г.) и признано верным только спустя четыре года.

Обобщённая гипотеза Пуанкаре

Обобщенная гипотеза Пуанкаре утверждает, что:

Для любого n всякое многообразие размерности n гомотопически эквивалентно сфере размерности n тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно ей.

Исходный вариант является частным случаем обобщенной гипотезы при n = 3 и только для этого случая не существовало доказательства. Доказательства для получены в начале 1960-1970-х почти одновременно Смейлом, независимо и другими методами Столлингсом (для , его доказательство было распространено на случаи n = 5 и 6 Зееманом). Доказательство значительно более трудного случая n = 4 было получено только в 1982 г. Фридманом (Филдсовская медаль 1986 г.).

Внешние ссылки

• J. Milnor, The Poincaré Conjecture 99 Years Later: A Progress Report in English

• Сергей Николенко Проблемы 2000: Гипотеза Пуанкаре

• John W.Morgan and Gang Tian Ricci Flow and the Poincare Conjecture in English

• B. Kleiner, J. Lott Notes on Perelman's papers in English

• Полное доказательство гипотезы Пуанкаре предъявлено уже тремя независимыми группами математиков

• Terence Tao Perelman's proof of the Poincaré conjecture: a nonlinear PDE perspective in English

 

Гипотеза Римана

Гипо́теза Ри́мана о распределении нулей дзета-функции Римана была сформулирована Бернхардом Риманом в 1859 году.

Функция ζ(s) определена для всех комплексных , и имеет нули для отрицательных целых . Из функционального уравнения , и явного выражения при следует, что все остальные нули, называемые «нетривиальными», расположены в полосе симметрично относительно так называемой «критической линии» . Гипотеза Римана утверждает что:

Все нетривиальные нули дзета-функции имеют действительную часть, равную

Обобщённая гипотеза Римана состоит из того же самого утверждения для обобщений дзета-функций, называемых L-функциями Дирихле.

Большинство математиков верят, что гипотеза верна. На 2004 год проверены более 1013 первых решений. [1]

История

Как известно, не существует простой закономерности, описывающей распределение простых чисел среди натуральных. Риман обнаружил, что число π(x) простых чисел, не превосходящих x, выражается через распределение нетривиальных нулей дзета-функции.

В 1896 Адамар и Валле-Пуссен независимо доказали, что нули дзета-функции не могут лежать на прямых и .

В 1900 Давид Гильберт включил гипотезу Римана в список 23 нерешённых проблем как часть восьмой проблемы совместно с гипотезой Гольдбаха.

В 1901 Хельге фон Кох показал, что гипотеза Римана эквивалентна следующему утверждению о распределении простых чисел:

при

Вообще, многие утверждения о распределении простых чисел, в том числе о сложности некоторых целочисленных алгоритмов, доказаны в предположении верности гипотезы Римана.

В 1914 Харди доказал, что на критической линии находится бесконечно много нулей, а позже Харди и Литлвуд дали оценку снизу доли нулей, лежащей на критической линии, которую потом улучшали разные математики.

Некоторые нетривиальные нули располагаются экстремально близко друг к другу. Это свойство известно как «явление Лемера (Lehmer)».

Титчмарш, Ворос в 1987 показали, что дзета-функция может быть разложена в произведение через свои нетривиальные нули в разложение Адамара.

Гипотеза Римана является одной из семи «проблем тысячелетия», за её доказательство Институт математики Клея (Clay Mathematics Institute, Кембридж, Массачусетс) выплатит приз в 1 млн. долларов. К рассмотрению принимаются решения, которые были опубликованы в известном математическом журнале, причём не ранее, чем через 2 года после публикации (для всестороннего рассмотрения математическим сообществом). http://www.claymath.org/millennium/

Группа математиков Университета Пардье (Purdue University, USA) под руководством Луи де Бранж де Бурсиа (Louis De Branges de Bourcia) предложила доказательство гипотезы Римана, которое на сегодняшний день не опровергнуто: [2]

Интересные факты

Знаменит ответ Гильберта на вопрос о том, каковы будут его действия, если он по какой-то причине проспит пятьсот лет и вдруг проснется. Математик ответил, что самым первым делом он спросит была ли доказана гипотеза Римана.

 

Концепция — определённый способ понимания, трактовки какого-либо предмета (явления, процесса), основная точка зрения на предмет.

Соотношение — взаимная связь между чем-нибудь.

Научные выводы— итоговые утверждения констатирующего типа.

Рекомендации — конкретные предложения (в смысле: что-то предлагается).

Особую ценность представляют научные выводы, приводящие к фор­мулированию ранее неизвестных законов и закономерностей.

Конце́пция, или конце́пт, (от лат. conceptio — понимание, система) — определённый способ понимания (трактовки) какого-либо предмета, явления или процесса; основная точка зрения на предмет; руководящая идея для их систематического освещения.

Употребляется также для обозначения ведущего замысла, конструктивного принципа в научной, художественной, технической, политической и других видах деятельности.

Концептуальный аспект теоретического знания выражает прежде всего парадигмальное «сечение» последнего, задает его топику и риторику, то есть определяет релевантные области применения и способы выражения конституируемых на основе развертывания «порождающей» идеи систем понятий (базовых концептов). К. исходит из установок на фиксацию предельных для какой-либо области («фрагмента» действительности) значений и реализацию максимально широкого «мировидения» (на основе «отнесения» к ценностному основанию познания). Она имеет, как правило, ярко выраженное личностное начало, означена фигурой основателя (или основателей, которые не обязательно являются реальными историческими персоналиями, так как в качестве таковых могут выступать мифические персонажи и культурные герои, трансцендентное божественное начало и т. д.), единственно знающего (знающих) исходный замысел. К. вводит в дисциплинарные дискурсы необязательно эксплицируемые в них онтологические, гносеологические, методологические и (особенно) эпистемологические допущения (способ дисциплинарного видения и доступные внутри него горизонты познания), без которых невозможна последующая более детальная проработка («раскрутка») презентируемой идеи. Кроме того, она «онтологизирует» и «маскирует» внутри исходной (базисной) теоретической структуры компоненты личностного знания, нерационализируемые, но необходимые внутри нее представления, «стыкуя» между собой различные по языковому оформлению и генезису (происхождению) компоненты, вводя с этой целью ряд дисциплинарных метафор. Таким образом, К. прежде всего вводят в теоретические дискурсы дисциплин их исходные принципы и предпосылки («абсолютные предпосылки», согласно Коллингвуду), определяющие базисные понятия-концепты и схемы рассуждений, формируя «фундаментальные вопросы» («идеи»), в соотнесении с которыми получают свое значение и обоснование выстраиваемые внутри этих дискурсов специальные утверждения. Коллингвуд считал, что изменение концептуальных оснований (изменение интеллектуальной традиции у Тулмина) — наиболее радикальное из всех, которые может испытывать человек, так как оно ведет к отказу от обоснованных ранее убеждений и стандартов мышления и действия, к смене исходных концептов-понятий, обеспечивающих целостное восприятие мира. К., являясь формой выражения дисциплинарности, по-разному специфицируются в философии, теологии и науке.

Наиболее адекватной собственно концептуальной форме является философия, которую можно трактовать как дисциплинарность по порождению и обоснованию К. (в которых культура (само)описывает себя), «производству» базовых концептов культуры, определяя «концептуальные возможности» последней. Дисциплинарная концептуальность философии принципиально разомкнута в гиперпространство. В этом отношении теология принципиально «замыкает» свои горизонты через механизмы догматизации, соответственно — свои догматы. Сам термин «К.» заменяется здесь, как правило, близким ему термином «доктрина» (лат. docere — учить, doctrina — учение, например, доктрина грехопадения), но несущим подчеркнуто христианские коннотации и подчеркивающим элемент разъяснения сути вероучения: в частности, новообращенным, когда она может приобретать форму катехизиса — поучения, аналог которому можно найти в большинстве развитых вероучений, например, «тора» («указание», «наставление») в иудаизме. Тем самым, будучи содержательно релевантной К., доктрина в смысловом отношении делает акцент на «непреложности», «конечности» оснований-предпосылок, не подлежащих релятивизации (что периодически происходит в философских К.). В свою очередь, акцент «научения» имплицитно присутствует и в понятии К. как таковой. Этот ее аспект эксплицируется, когда понятие доктрины переносят за рамки теологии и религии, в частности, в область идеологических и политологических дискурсов (например, коммунистическая доктрина), чтобы специально подчеркнуть элемент «догматики» в К. (отсюда производные понятия — «доктринер», «доктринерство»).

В классических дисциплинарных дискурсах была сильна тенденция к отождествлению понятия «концепция» с понятием «теория». Иногда им обозначали «неполную», «нестрогую» и т. д. теорию именно для того, чтобы подчеркнуть ее «неполноту», «нестрогость». В неклассической науке понятие концепции стали, как правило, редуцировать к фундаментальной теоретической (концептуальной) схеме (включающей в себя исходные принципы, универсальные для данной теории законы, основные смыслообразующие категории и понятия), или (и) к идеализированной (концептуальной) схеме (модели, объекту) описываемой области (вводящей, как правило, структурно-организационный срез предметного поля, на которое проецируются интерпретации всех утверждений теории). Таким образом, К. редуцируется к предварительной теоретической организации «материала» внутри научной теории, которая в своей полной «развертке» выступает как ее реализация (в том числе «переводящая» исходные базовые концепты в конструкты). Однако в науке К. способна быть и самостоятельной формой организации знания, особенно в социогуманитарном знании (например, диспозиционная концепция личности или концепция социального обмена в социологии), «замещающей» собой теорию. Акцент на концептуальности в научном знании имплицитно актуализировал социокультурную и ценностно-нормативную составляющую в нем, смещал фокус с «когнитивного», «логического», «внутрисистемного» в теории на «праксеологическое», «семантическое», на ее «открывание» вовне, что актуализировало проблематику социокультурной исторической обусловленности научного знания в целом. Эксплицитно это было осознано в постклассической методологии науки и в социологии знания (К. и (или) концепты: «личностное знание» и «научное сообщество» Полани, «тематический анализ науки» Холтона, «исследовательская программа» Лакатоса, «сильная программа» Д. Блура, «парадигма» и «дисциплинарная матрица» Куна, «междисциплинарное единство» А. Койре, «дисциплинарный анализ» и «интеллектуальная экология» Тулмина и др.). В целом постклассическая методология сильно поколебала и представления о теории как высшей форме организации и структурации научного знания, и представления о возможности преодоления его «гипотетической природы», реабилитировав тем самым и К. как самостоятельную форму знания.

Устойчивое развитие — процесс изменений, в котором эксплуатация ресурсов, направление инвестиций, ориентация научно-технического развития и институциональные изменения согласованы друг с другом и укрепляют нынешний и будущий потенциал для удовлетворения человеческих потребностей и устремлений.

Во многом, речь идет об обеспечении качества жизни людей.