2. Цікаві факти із життя науковця
Де Муавр жив у 18 -му столітті і складався в близькій дружбі з Ньютоном . Відомий своєю роботою в області теорії ймовірностей , а також висновком формули Муавра .
Цій людині вдалося безпомилково назвати дату власної смерті .Муавр помер у віці 87 років. Незадовго до смерті він зауважив , що стає все більш млявим , і йому потрібно все більше часу для сну.
Математик підрахував , що тривалість його сну збільшується в середньому на 15 хвилин на добу . І зробив висновок , що помре , коли кількість цих додаткових хвилин стане рівним 24 - м годинах .
Виходячи з цього він назвав дату - 27 листопада 1754 -го року - і дійсно помер в цей день.
3. Формула а.Муавра
Нехай
комплексне число. Необхідно піднести
задане число в
степінь. Скористаємося правилом множення
комплексних чисел:
Розглянемо
випадок коли
,
тоді
.
Доведемо,
що формула Муавра вірна для будь-яких
цілих степенів. Припустимо
і число
необхідно піднести в степінь
при
.
Маємо:
Запишемо
1 у тригонометричному вигляді:
і перепишемо представлення формули для
.
Маємо:
.
Приклад застосування формули Муавра
Виразити
і
через
,
.
Розглянемо
комплексне число
.
За формулою Муавра маємо
,
а з іншого боку за формулою Бінома:
прирівняємо дійсні та уявні частини:
4. Локальна теорема Муавра-Лапласа.
Локальна теорема Муавра — Лапласа описує наближення нормального розподілу до біноміального розподілу. Є окремим випадком центральної граничної теореми.
Розглянемо
схему Бернуллі з імовірністю успіху
тобто нехай дана послідовність незалежних
випадкових величин
де
Визначимо
як число успіхів у перших
випробуваннях:
Тоді
Тобто
Ця теорема прекрасно працює, проте у неї є недолік. Якщо n буде досить великим, то знайти значення Pn (k) стає нереально через величезного обсягу обчислень.
У цьому випадку працює Локальна теорема Муавра - Лапласа, яка дозволяють знайти наближене значення ймовірності:
Теорема. Локальна теорема Муавра - Лапласа. Якщо в схемі Бернуллі число n велике, а число p відмінно від 0 і 1, тоді:
Функція φ (x) називається функцією Гаусса. Її значення давно обчислені і занесені в таблицю, якою можна користуватися навіть на контрольних роботах і іспитах.
Локальна теорема Муавра - Лапласа дає відмінне наближення формули Бернуллі, якщо число випробувань n досить велике. Зрозуміло, формулювання «число випробувань досить велике» досить умовна, і в різних джерелах називаються різні цифри. наприклад:
1.Часто зустрічається вимога: n · p · q> 10. Мабуть, це мінімальна межа;
2.Інші пропонують працювати за цією формулою тільки для n> 100 і n · p · q> 20.
На мій погляд , досить просто поглянути на умову задачі . Якщо видно , що стандартна теорема Бернуллі не працює через великий обсяг обчислень(наприклад,ніхто не вважатиме число 58! Або 45!) ,
Сміливо застосовуйте Локальну теорему Муавра - Лапласа .До того ж , чим ближче значення ймовірностей q і p до 0,5 , тим точніше формула . І , навпаки , при прикордонних значеннях (коли p близько до 0 або 1 ) Локальна теорема Муавра - Лапласа дає велику похибку , значно відрізняючись від справжньої теореми Бернуллі . Зверніть увагу: у функцію Гаусса підставляється досить складне число, що містить арифметичний квадратний корінь і дріб . Це число обов'язково треба знайти ще до підстановки у функцію . Розглянемо все на конкретних завданнях:
Завдання.
Імовірність народження хлопчика дорівнює 0,512. Знайдіть ймовірність того, що серед 100 новонароджених буде рівно 51 хлопчик рішення.
Отже, всього випробувань за схемою Бернуллі n = 100. Крім того, p = 0,512, q = 1 - p = 0,488.Оскільки n = 100 - це досить велике число, будемо працювати по Локальної теоремі Муавра - Лапласа. Зауважимо, що n · p · q = 100 · 0,512 · 0,488 ≈ 25> 20. маємо:
Оскільки ми округляли значення n · p · q до цілого числа, відповідь теж можна округлити: 0,07972 ≈ 0,08. Враховувати інші цифри просто немає сенсу.
Відповідь. 0,08
Висновок.
Муавра сприйняв класичне визначення ймовірності, дане Бернуллі, і ймовірність події визначив майже в точності так, як це робимо ми тепер. Він писав: Отже ми будуємо дріб, чисельник якого буде число випадків появиподії, а знаменник - число всіх випадків, при яких воно може з'явитися або не з'явитися, така дріб буде виражати дійсну ймовірність його появи.
Муавра знайшов, що приблизно У лютому 5074 проте це його не задовольнило і йому хотілося зв'язати цюконстанту з раніше введеними в математику.
Муавра (1667 - 1754), який відкрив (1707 і - слід, роки) формулу, з якої легко виходить так звана іино формула Муавра, в нинішньому вигляді наведена вперше Ейлером у Нведепіі в аналіз (1748 р. СР
Муавра і Лаплас досліджувалибіноміальний розподіл при великих значеннях п і апроксимувати його деяким значно більш зручним безперервним розподілом.
Де Муавром, Стірлінг і Ланд - добротні представники англійської математики вісімнадцятого століття. Але ми повинні сказати і продеяких інших англійцях, хоча ніхто з них не міг рівнятися зі своїми колегами на континенті. Над англійської наукою тяго - тіла традиція шанування Ньютона, і його позначення, незграбні у порівнянні з позначеннями Лейбніца, утрудняли прогрес.
Де Муавром буввражений закономірністю, яка проявлялася із збільшенням числа випадкових і незалежних спостережень; він відносив цю впорядкованість до приписами Всемогутнього. Це приводить до думки, що при правильно обраних умов вимірювання можна справді подолатиневизначеність і приручити ризик.
Теорема Муавра про збіжність розподілів центрованого і нормованого числа появ події А в п незалежних випробуваннях, в кожному з яких подія А може настати з однією і тією ж імовірністю р, до нормальногорозподілу довгий час служила зразком для подальших узагальнень. Лаплас в ньому розглядав дискретні випадкові величини зі зростаючою кількістю можливих значень.
Формула Муавра дозволяє за допомогою однієї тільки алгебри висловити косинуси і синусикратних кутів через косинус і синус вихідного кута.
Теорема Муавра - Лапласа встановлює, що в результаті граничного переходу перериване біноміальний розподіл перетвориться в розподіл безперервного типу, зване нормальним розподілом.
Теорему Муавра називають локальною граничною теоремою.
Формула Муавра знаходить багато застосувань.
Теорему Муавра - Лапласа можна сформулювати в наступному вигляді.
Нормальна щільність імовірності. Теорему Муавра - Лапласа, яку ми обговорювали вище, можнаузагальнювати в різних напрямках.
Відкриття Муавра, очевидно, пройшло непоміченим і лише через якийсь час нормальний розподіл було знову відкрито Гауссом[16]в 1809 р. і Лапласом[22]в 1812 р. Останній торкався цю тему вже деяких роботах,написаних близько 1780 р., хоча і не заглиблювався в неї до своєї знаменитої роботи 1812 року. Гаусс і Лаплас прийшли до нормальної функції у зв'язку зі своєю роботою але теорії помилок спостережень. Лаплас, крім того, дав першу (недосконалу) формулювання розглянутої нами вищецентральної граничної теореми і дав велике число важливих додатків нормального розподілу до різних питань теорії ймовірностей.
Теорема Муавра - Лапласа описує асимптотичну поведінку ймовірності P ziCS, z2 при фіксованих Zi і рр З їїдокази видно, що теорема застосовна і в разі, коли г, і z2 можуть змінюватися разом сп, причому, можливо, Zr - oo за умови, що зростання відбувається досить повільно. У цьому випадку обидві частини (3.17) прагнуть до нуля і теорема змістовна тільки тоді, коли відношенняобох частин прагне до одиниці. Наступна теорема показує, за яких умов це вірно. Можливість такої заміни обгрунтовується наступної лемою, в якій показано, що пріг1 - з верхня межа 22не грає ніякої ролі.
Нормальна щільність імовірності.Теорему Муавра - Лапласа, яку ми обговорювали вище, можна узагальнювати в різних напрямках.
Формула Муавра дозволяє найбільш просто виводити тригонометричні формули для синусів і косинусів кратних кутів.
Скориставшись формулою Муавра, уявіть sin50 а в у-иде суми косинусів кутів, кратних а, узятих з деякими коефіцієнтами.
Список використаних джерел:
http://www.berdov.com/works/teorver/laplas_local/
http://math4school.ru/moivre.html
http://shkolazhizni.ru/archive/0/n-28353/
http://www.factroom.ru/facts/23384
http://techtrend.com.ua/index.php?newsid=4101
http://idndist.lp.edu.ua/moodle/library/books/0005/index3_3.html
Боголюбов А. Н. Математики. Механики. Биографический справочник. — Киев: Наукова думка, 1983.
История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука.
Зміст
Вступ……………………………………………………….…..