18

1. Класифікація і зведення до канонічного вигляду квазілінійних рівнянь з частинними похідними: випадок гіперболічного рівняння.

Квазілінійні ДРЧП мають вигляд :

A=A(x,y), B=B(x,y), C=C(x,y).

Функції А,В,С – це функції, визначені в деякій області G площини ОХУ і двічі неперервно-диференційовані в ній. F- деяка задана неперервна функція своїх аргументів, якщо F- лінійна функція відносно uта її похідних, то рівняння називається лінійним, в супротивному випадку квазілінійним. Поставимо перед собою таку задачу: за допомогою заміни змінних ввести рівняння:

(1)

до найбільш простого вигляду, для цього введемо нові незалежні змінні

(2)

вимагаючи, що якобіаном відповідного перетворення:

(3)

Умова (3) є необхідною і достатньою щоб існувало обернене перетворення:

(4)

Перейдемо до нових незалежних змінних (3) в рівнянні (1):

(5)

Підстановка формул (2,5) в рівняння (1) приводить нас до такого трансформованого рівняння:

(6)

(7)

Залишилось змінити й функцію F, але нас тут не цікавить. Спробуємо й далі підібрати функції щоб перетворити деякі коефіцієнти трансформованого рівняння (6) у 0. З формули (7) випливає, що перетворення коефіцієнтів в 0 є еквівалентним розв’язком диференціального рівняння 1-го порядку такого вигляду:

(8)

поділивши рівняння (8) на ( ) ми прийдемо до такого рівняння:

=0

І неважко побачити,що воно розкладеться на такі два рівняння:

(8a)

(8b)

тому розв’язки рівнянь (8a),(8b) будуть розв’язки рівняння 8. Згідно загальної теорії ДРЧП 1-го порядку інтегрування рівнянь (8a), (8b) зводиться до інтегрування відповідних звичайних диференціальних рівнянь, які матимуть вигляд:

(9a)

або

(9b)

Розв’язки рівняння (8a),(8b) зв’язані з (9a),(9b).

Нехай (10) є загальними інтегралами (9a),(9b). Тоді функції і лише вони будуть розв’язками рівняння (8a),(8b), а отже, і (8). Зрозуміло, що це має місце тоді коли коефіцієнт (9a),(9b) не перетворюється одночасно в 0. В подальшому ми вважатимемо, що і більше того, не порушуючи загальності міркувань, що А>0. Самі криві (10) називатимемо характеристиками рівняння (1), а рівняння (9a),(9b) можуть бути записаними у вигляді одного рівняння:

(9)

Поведінку інтегралів рівняння (9a), (9b), а отже шукане найпростішого вигляду рівняння (1) залежить від дискримінанту:

Безпосереднім обчисленням можна переконатись , що має місце така рівність:

(11)

а отже, не змінюється в результаті виконання заміни змінної , тобто є інваріантом перетворення (2). Тому класифікацію рівнянь вигляду (1) будемо проводити за законом

Означення:

Рівняння (1) у точці з області G називається

Гіперболічного типу, якщо > 0;

Параболічного типу, якщо = 0;

Еліптичного типу, якщо < 0;

Якщо в деякій області , дискримінант зберігає знак або дорівнює 0, то рівняння (1) називається гіперболічного, параболічного та еліптичного типу в області . Перейдемо до зведення рівняння до канонічного вигляду.

Рівняння гіперболічного типу:

> 0

У цьому випадкові рівняння (9a), (9b), а отже і їхні інтеграли є дійсними і різними, тому загальні інтеграли (10) визначають дійсні і різні сім’ї характеристики, оскільки задовольняють то поклавши заміну :

із рівностей (7) отримаємо, що , а з рівності (11), що . Поділивши рівняння (6) на 2 прийдемо до такого:

(12)

Рівняння (12) і є канонічним виглядом рівняння гіперболічного типу.

Якщо покласти то отримуємо із (12) рівняння:

(13)

Яке є іншим канонічним виглядом рівняння гіперболічного типу.