2. Погрешность интерполирования.
Для того, чтобы
оценить разность между
и построенным интерполяционным полиномом
, предположим, что
имеет непрерывную
производную на отрезке
.
Введем в рассмотрение вспомогательную функцию
, (17)
где
,
и выберем
из условия
,
где
- точка, в которой оценивается погрешность.
Тогда
.
При таком выборе
функция
имеет нули в
-
х точках
.
На основании теоремы Ролля, ее производная
обращается в нуль по
крайней мере в
точке . Повторяя аналогичные рассуждения,
заключаем, что
обращается в нуль хотя бы в одной точке
,
т.е.
.
Следовательно, в силу
того что
,
42
, (18)
и остаточный член имеет вид.
, (19)
откуда
, (20)
где
.
Замечание.
Оценка (20) дает приемлемый
результат, если точка
находится на отрезке
(интерполяция). В случае, когда точка
лежит за пределами отрезка (экстраполяция),
множитель
резко возрастает. Поэтому на практике
экстраполяцию стараются не применять
или пользоваться полиномами невысокой
степени.
3. Интерполяционный полином Эрмита.
Пусть в точках
заданы не только значения функции
,
но может быть и значения производных:
.
(21)
Требуется построить
полином
степени
,
где
, удовлетворяющий условиям:
. (22)
Докажем, что такой полином существует и единственен.
43
Пусть
.
Условия (22) представляют
собой систему линейных алгебраических
уравнений порядка
.
Рассмотрим соответствующую однородную систему
. (23)
Выполнение условий
(23) означает, что полином
имеет не менее
нулей с учетом кратности. Учитывая, что
степень полинома равна
, то это возможно лишь в случае, когда
,
т.е. однородная система (23) имеет только
тривиальное решение
.
Следовательно, неоднородная система уравнений (22) всегда совместна и имеет единственное решение. Аналогично предыдущему можно получить формулу погрешности интерполяции
, (24)
где
.
Для построения полинома Эрмита, удобно использовать аппарат разделенных разностей с кратными узлами. Строгое обоснование этого метода выходит за рамки нашего пособия, поэтому ограничимся простейшим примером .
Пусть требуется построить интерполяционный полином Эрмита по значениям:
.
При построении таблицы разделенных разностей с кратными узлами полагают:
и так далее.
44
Искомый полином имеет следующий вид
.
Далее
.
Откуда
.