23 Проектирование валов и осей
Назначение, классификация валов и осей
На валах и осях размещают вращающиеся детали: зубчатые колеса, шкивы, барабаны и т. п. Вал отличается от оси тем, что передает вращающий момент от одной детали к другой, а ось не передает. Вал всегда вращается, а ось может быть вращающейся или невращающейся.
Различают валы прямые, коленчатые и гибкие.
Наибольшее распространение имеют прямые валы.
Коленчатые валы применяют в поршневых машинах.
Гибкие валы допускают передачу вращения при больших перегибах (например, в зубоврачебных бормашинах).
Коленчатые и гибкие валы относят к специальным деталям и не изучают в настоящем курсе.
По конструкции различают валы и оси гладкие и фасонные или ступенчатые, а также сплошные и полые.
Проектный расчёт валов
Диаметр вала предварительно оценивают из расчета только на кручение при пониженных, допускаемых напряжениях (изгибающий момент пока не известен, так как неизвестны расположение опор и места приложения нагрузок).
или
Напряжения кручения
Обычно принимают:
= (12…15) МПа для редукторных и других аналогичных валов.
Проверочный расчёт валов. Расчет на усталостную выносливость
В большинстве случаев трудно установить действительный цикл нагрузки машины в условиях эксплуатации. Тогда расчет выполняют условно по номинальной нагрузке, а циклы напряжений принимают ‑ симметричным для напряжений изгиба и отнулевым для напряжений кручения. Выбор отнулевого цикла для напряжений кручения обосновывают тем, что большинство машин работает с переменным крутящим моментом, а знак момента изменяется только у реверсивных машин. Неточность такого приближенного расчета компенсируют при выборе запасов прочности.
Для опасных сечений определяют запасы сопротивления усталости и сравнивают их с допускаемыми. При совместном действии напряжений кручения и изгиба запас сопротивления усталости определяют по формуле
где
‑ запас
сопротивления усталости при изгибе;
‑ запас
сопротивления усталости при кручении.
В этих формулах
и
‑ амплитуды
переменных составляющих циклов
напряжений, а
и
‑ постоянные
составляющие.
и 
‑ коэффициенты,
корректирующие влияние постоянной
составляющей цикла напряжений на
сопротивление усталости, зависящие от
механических характеристик материала.
и
‑ пределы
выносливости.
и 
‑ коэффициенты
концентрации напряжений в расчетном
(опасном) сечении при изгибе и кручении
соответственно.
Расчет на статическую прочность, жесткость и колебания
Проверку статической прочности производят в целях предупреждения пластических деформаций и разрушений с учетом кратковременных перегрузок (например, пусковых и т. п.). При этом определяют эквивалентное напряжение по формуле
где
Здесь М и Т ‑ изгибающий и крутящий моменты в опасном сечении при перегрузке.
Расчет на жесткость выполняют следующим образом. Упругие перемещения вала отрицательно влияют на работу связанных с ним деталей: подшипников, зубчатых колес, катков фрикционных передач и т. п.
От прогиба вала в зубчатом зацеплении возникает концентрация нагрузки по длине зуба. При больших углах поворота в подшипнике может произойти защемление вала.
Допускаемые упругие перемещения зависят от конкретных требований к конструкции и определяются в каждом отдельном случае. Приближенные рекомендации следующие:
Для вала зубчатых
передач стрела прогиба под колесом
‑ передачи
цилиндрические;
‑ конические,
гипоидные, глобоидные передачи, где
т ‑ модуль
зацепления.
Угол взаимного
наклона валов под шестернями
рад.
В станкостроении
для валов общего назначения
,
где ‑ расстояние между опорами.
Угол поворота вала
в подшипнике скольжения
0,001 рад;
в радиальном шарикоподшипнике
0,005 рад.
Малые величины допускаемых перемещений иногда приводят к тому, что размеры вала определяет не прочность, а жесткость. В этих случаях нецелесообразно изготовлять вал из дорогих высокопрочных сталей (если это не диктуется какими-либо другими условиями, например износостойкостью цапф).
Перемещение при кручении валов постоянного диаметра определяют по формуле
где ‑ угол закручивания вала, рад;
‑ крутящий момент;
‑ модуль
упругости при сдвиге;
‑ длина закручиваемого участка вала;
‑ полярный
момент инерции поперечного сечения
вала.
Если вал ступенчатый и нагружен несколькими , то угол определяют по участкам и затем суммируют.
Расчет на колебания выполняют следующим образом.
На валу, вращающемся
с угловой скоростью
закреплен диск массой
с эксцентриситетом
е. Собственную
массу вала считаем малой по сравнению
с т и
в расчет не принимаем (упругая система
с одной степенью свободы). На вал действует
центробежная сила вектор которой
вращается с угловой скоростью
.
Составляющие силы F, по осям у и z:
Силы Fy и Fz являются гармоническими возмущающими силами, которые вызывают изгибные колебания вала в направлении осей у и z.
Колебания от силы
Fy
описываются
уравнением:
Колебания от силы
Fz
описываются уравнением:
Частота собственных изгибных колебаний
где
‑ изгибная
податливость вала или прогиб от единичной
силы;
‑ статический
прогиб вала от действия силы тяжести
mg
диска.
Анализируя уравнение
колебаний позволяет отметить, что при
При
наступает резонанс.
Таким образом, даже при ничтожно малой неуравновешенности в условиях резонанса можно ожидать разрушения машины.
Частоту вращения (мин-1), при которой наступает резонанс, называют критической:
