§ 2.4. Властивості визначника n-го порядку

Властивість 1. Визначник не змінюється після транспонування.

 Згідно з означенням, визначник n-го порядку дорівнює сумі різних доданків – членів визначника – з урахуванням знаку члена визначника. Оскільки порядок визначника при транспонуванні не змінюється то, загальна кількість членів у вихідному та транспонованому визначниках однакова та дорівнює . Далі покажемо, що кожний член вихідного визначника є також членом транспонованого, причому входить у вихідний визначник з тим самим знаком, що і у транспонований.

Розглянемо довільний член вихідного визначника (3.2) . Елементи , що входять до складу цього добутку, були взяті по одному з кожного рядка та кожного стовпчика визначника (3.2), а тому, і визначника (3.3), який отримали після транспонування вихідного визначника. Звідки виходить, що усі члени вихідного визначника входять до складу транспонованого визначника та навпаки. Члену відповідає у вихідному визначнику підстановка:

,

а у транспонованому – підстановка:

.

Зрозуміло, що обидві ці підстановки мають однакову парність, тобто або одночасно парні, або одночасно непарні. Внаслідок чого, добуток входить з однаковим знаком як до складу вихідного визначника, так і до складу транспонованого. Усе це у сукупності доводить рівність визначників, що розглядалися. 

Властивість 2. Якщо один з рядків визначника – нульовий, то визначник дорівнює нулю.

 За означенням до кожного члену визначника входить один елемент нульового рядку як множник, звідки виходить, що усі члени такого визначника дорівнюють нулю, а внаслідок цього і сам визначник дорівнює нулю. 

Властивість 3. Якщо визначник отриманий з іншого після переставлення двох рядків, то модулі цих визначників збігаються, а знаки протилежні.

Нехай у вихідному визначнику (3.2) були переставлені рядки з номерами i та j , а усі інші рядки не змінилися. Запишемо новий визначник

.

Тут , … , , а , … , , а інші рядки нового визначника такі ж самі що й у вихідному визначнику (3.2).

Розглянемо довільний член визначника (3.2) . Зрозуміло, що цей добуток містить по одному елементу з кожного рядка та кожного стовпчика нового визначника, а тому є членом нового визначника. Цей член нового визначника можна записати таким чином . Члену вихідного визначника відповідає підстановка:

.

А такому ж члену нового визначника відповідає вже така підстановка:

.

Другу підстановку можна отримати з першої після транспозиції двох чисел i та j у першому рядку. Таким чином, парності двох підстановок протилежні, звідки виходить, що протилежні і знаки з якими входить добуток у вихідний та у новий визначники. Оскільки було розглянуто довільний член визначника, то виходить, що вихідний визначник та визначник, який отримано з нього після переставлення двох рядків, відрізняються один від одного лише знаком.

Властивість 4. Якщо елементи двох рядків визначника рівні, то визначник дорівнює нулю.

Нехай визначник (3.2) дорівнює d. Якщо змінити місцями два однакових рядка, то зрозуміло, що значення визначника не зміниться, але з іншого боку за властивістю 3 його значення буде рівним . Таким чином, маємо , звідки виходить, що .

Властивість 5. Якщо всі елементи будь-якого рядка визначника помножити на деяке число k, то й сам визначник зміниться у k раз.

 Нехай елементи i-го рядка визначника (3.2) помножені на число k . Тоді загальний член нового визначника, оскільки він містить елемент i-го рядка, буде мати вигляд . Звідки виходить, що кожен член нового визначника у k раз відрізняється від відповідного члена вихідного визначника. Тому й новий визначник у k раз відрізняється від вихідного.

З властивості 5 виходить, якщо всі елементи одного рядка визначника містять загальний множник, то цей множник можна винести за знак визначника.

Властивість 6. Якщо елементи двох рядків визначника пропорційні, то визначник дорівнює нулю.

Нехай у визначнику (i-тий рядок) = (j-тий рядок). Згідно з властивістю 5 число k можна винести за знак визначника. Після чого отримаємо визначник, у якому два рядки однакові. Цей визначник за властивістю 4 дорівнює нулю, тобто нулю дорівнює і вихідний визначник.

Властивість 7. Якщо i-тий рядок визначника n-го порядку є сумою двох n-вимірних рядків , де та , то вихідний визначник дорівнює сумі двох визначників. У першому з яких замість i-того рядка розташовано рядок , а у другому – рядок . Інші рядки цих визначників такі ж самі як і у вихідному визначнику.

Рівність у координатній формі має вигляд . Звідки виходить, що загальний член вихідного визначника (3.2) можна записати у вигляді суми двох доданків

.

Першому та другому доданкам відповідають визначники, які відрізняються від вихідного тільки елементами i-того рядка:

та .

Таким чином,

.

Ця властивість легко узагальнюється на той випадок, коли i-тий рядок визначника – сума m його інших рядків .

Означення 2.4.1. Рядок матриці (визначника) з номером i називається лінійною комбінацією інших її (його) рядків, якщо:

(i-тий рядок) = (1-ший рядок)+ (2-гий рядок)+…+ ( - ий рядок)+

+ ( -ший рядок)+…+ ( -тий рядок),

де .

Якщо деякі з коефіцієнтів дорівнюють нулю, то говорять, що i-тий рядок є лінійною комбінацією тих рядків, коефіцієнти при яких відмінні від нуля.

Властивість 8. Якщо один з рядків визначника є лінійною комбінацією інших його рядків, то визначник дорівнює нулю.

Нехай i-тий рядок визначника є лінійною комбінацією інших його рядків. Згідно властивості 7 такий визначник дорівнює сумі визначників, кожний з яких має по два пропорційних рядка, і тому за властивістю 6 дорівнює нулю.

Властивість 9. Визначник не зміниться, якщо до елементів одного його рядка додати відповідні елементи іншого рядка, помножені на довільний множник.

Будемо додавати до i-того рядка визначника (3.2) його -тий рядок, який помножено на деяке число . У визначнику, що отримали:

(i-тий рядок) =(i-тий рядок (3.2)) + ( -тий рядок (3.2)).

Інші рядки нового визначника такі ж самі, що й у вихідного. Згідно властивості 7 новий визначник дорівнює сумі двох визначників: вихідного та визначника, у якого i-тий та -тий рядки – пропорційні. За властивістю 6 останній визначник дорівнює нулю, звідки виходить, що новий визначник дорівнює вихідному.

Примітка. За властивістю 1 при транспонуванні визначник не змінюється. Звідки виходить, що усі твердження (властивості 2–9), що були доведені вище для рядків, вірні також і для стовпчиків визначника.