Алгоритм розв’язання та дослідження слар за методом Гауса:

1. Записати розширену матрицю системи рівнянь.

2. Привести розширену матрицю системи до східчастого вигляду за допомогою елементарних перетворень над рядками. Якщо в отриманій східчастій матриці є рядок, в якому перший ненульовий елемент стоїть на останньому місці, то вихідна система не має розв’язків, тобто несумісна.

3. Якщо система рівнянь з n невідомими – сумісна, то в системі рівнянь з східчастою матрицею відкидаємо ті рівняння, які відповідають нульовим рядкам матриці. В рівняннях, які залишилися, визначаємо r головних та вільних невідомих, та переносимо члени з вільними невідомими (якщо вони є) до правої частини.

4. Якщо , то існують вільні невідомі і система – неозначена. Послідовно виражаємо головні невідомі через вільні, рухаючись від останнього рівняння до першого. Отримаємо загальний розв’язок системи. Якщо , вільні невідомі відсутні й система – означена. Рухаючись від останнього рівняння до першого, одержимо числові вирази для головних невідомих, і таким чином отримаємо єдиний розв’язок системи.

5. У випадку неозначеної системи надаємо вільним невідомим різні числові значення, після чого обчислюємо значення головних невідомих та отримуємо окремі розв’язки системи.

Приклад. Провести дослідження СЛАР та визначити її розв’язок, якщо вона сумісна

Розв’язання. Розширена матриця системи має вигляд:

.

Виконуємо елементарні перетворення рядків та приводимо цю матрицю до східчастого вигляду

.

З вигляду східчастої матриці робимо висновок, що система – сумісна. Число ненульових рядків , а число невідомих . Оскільки , система неозначена. Обираємо у якості головних невідомих: , тоді – вільна. Одержимо вирази головних невідомих через вільну , розв’язавши систему:

Рухаючись від останнього рівняння до першого маємо:

Надамо невідомій значення с, де с – довільне дійсне число ( ), та запишемо загальний розв’язок системи у вигляді:

.

Для будь-якого дійсного с значення невідомих , що визначаються загальним розв’язком, задовольняють всім рівнянням вихідної системи.

§ 1.4. Однорідні системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Означення 1.4.1. Система лінійних рівнянь (3.1) називається однорідною, якщо праві частини усіх рівнянь системи дорівнюють нулю.

Згідно з означенням однорідна система має вигляд

(4.1)

Однорідна система (4.1) завжди є сумісною, оскільки має нульовий (тривіальний) розв’язок: . Окрім нульового розв’язку, однорідна система може мати й ненульові розв’язки. Теорема 1.4.1 наводить достатню умову існування ненульового розв’язку однорідної системи (4.1).

Теорема 1.4.1. Якщо число рівнянь m однорідної системи (4.1) менше за число її невідомих n , то ця однорідна система має нетривіальний розв’язок.

Приводимо розширену матрицю системи з m рівняннями до східчастого вигляду за допомогою елементарних перетворень рядків. Система рівнянь, що відповідає східчастій матриці, за теоремою 1.3.1 еквівалентна вихідній системі (4.1). Оскільки кількість рівнянь вихідної системи була менша за число невідомих , то, зрозуміло, що кількість r ненульових рядків у східчастій матриці також менша за число n невідомих . На підставі цього робимо висновок, що система неозначена і, тому має нескінченне число розв’язків, відмінних від нульового. 