Усі рядки матриці в, крім I-го, збігаються з відповідними рядками матриці а. Зробимо елементарне перетворення другого типу над рядками матриці в:

(i-тий рядок В) –  (k-тий рядок В) = (i-тий рядок А).

Після цього одержимо матрицю А, бо усі рядки матриці В за винятком i-го збігаються з відповідними рядками матриці А. Таким чином, якщо перехід від А до В зроблено за допомогою одного елементарного перетворення рядків матриці А, то і від В до А можна перейти за допомогою одного перетворення рядків.

Розглянемо далі загальний випадок. Нехай від матриці А до матриці В перейшли після n елементарних перетворень

.

На підставі доведення теореми для випадку одного елементарного перетворення можна стверджувати, що має місце зворотний перехід від А до В:

.

§ 1.3. Розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь

Означення 1.3.1. Лінійним алгебраїчним рівнянням відносно невідомих називається рівняння вигляду

,

де – дійсні числа. При цьому числа ( ), називаються коефіцієнтами при невідомих , а число b – вільним членом рівняння.

Розглянемо систему m рівнянь з n невідомими:

(3.1)

Ця система рівнянь характеризується матрицею

,

яка називається розширеною матрицею системи. Її розмір – . Матриця, що стоїть зліва від вертикальної риси, називається матрицею системи. Елементи матриці системи – це коефіцієнти при невідомих. Матриця, яка стоїть праворуч від вертикальної риси, називається стовпчиком вільних членів.

Означення 1.3.2. Розв’язком системи рівнянь (3.1) називається будь-яка упорядкована сукупність дійсних чисел (n-вимірний рядок), яка задовольняє умові: кожне рівняння системи перетворюється на тотожність, якщо покласти .

Означення 1.3.3. Система лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) називається сумісною, якщо вона має хоч один розв’язок. Якщо система не має розв’язків, вона називається несумісною.

Означення 1.3.4. Система лінійних алгебраїчних рівнянь називається означеною, якщо вона має єдиний розв’язок. Якщо СЛАР має більш ніж один розв’язок, то вона називається неозначеною.

Означення 1.3.5. Дві СЛАР називаються еквівалентними, якщо вони мають однакову множину розв’язків.

Лема 1.3.1. Нехай дві СЛАР характеризуються розширеними матрицями та відповідно. Якщо від матриці до матриці можна перейти за допомогою скінченого числа елементарних перетворень над рядками, то будь-який розв’язок системи з матрицею буде також і розв’язком системи з матрицею .

 Зрозуміло, що лему достатньо довести для випадку одного елементарного перетворення над рядками.

Нехай матриця одержана з матриці за допомогою елементарного перетворення першого типу, тобто після переставлення двох рядків матриці . Це відповідає переставленню двох рівнянь в системі (3.1). Очевидно, що будь-який розв’язок вихідної системи рівнянь буде в цьому випадку також розв’язком для нової системи. Нехай далі матриця одержана з матриці за допомогою перетворення другого типу, а саме: до i-го рядка матриці додається її j-тий рядок, помножений на число . У матриці i-тий рядок буде мати вигляд:

.

Інші рядки матриці збігаються з рядками матриці . Нехай – розв’язок системи з матрицею . Очевидно, що він задовольняє усім рівнянням системи з матрицею , за винятком, можливо, i-го, яке зазнало перетворення. Підставимо числа замість відповідних невідомих у ліву частину i-го рівняння системи з матрицею , одержимо

.

Що підтверджує той факт, що розв’язок задовольняє також i-му рівнянню системи з матрицею . 

Теорема 1.3.1. Якщо від матриці до матриці можна перейти за допомогою скінченого числа елементарних перетворень над рядками, то будь-який розв’язок СЛАР, яка відповідає матриці , є також розв’язком СЛАР з матрицею та навпаки, таким чином розглянуті системи рівнянь еквівалентні.

 Згідно з лемою 1.3.1 кожний розв’язок системи з матрицею є також розв’язком для системи з матрицею . На підставі теореми 1.2.2, якщо від матриці до матриці можна перейти за допомогою скінченого числа елементарних перетворень над рядками, то від матриці до матриці також можна перейти за допомогою скінченого числа елементарних перетворень рядків. Внаслідок чого, за лемою 1.3.1 кожний розв’язок системи з матрицею є розв’язком системи з матрицею . Висновок: розглянуті системи еквівалентні. 

Переходимо далі до викладення методу Гауса розв’язання та дослідження СЛАР. Він полягає у перетворенні вихідної системи рівнянь до еквівалентної системи з матрицею східчастого вигляду та у подальшому розв’язанні останньої системи рівнянь. За теоремою 1.2.1 кожну матрицю скінченого розміру за допомогою елементарних перетворень рядків можна привести до східчастого вигляду, а згідно з теоремою 1.3.1: вихідна система, та отримана після перетворень система з східчастою матрицею – еквівалентні. Спосіб приведення розширеної матриці системи до східчастого вигляду описано у теоремі 1.2.1, тому обмежимось розглядом системи m рівнянь з n невідомими, розширена матриця якої вже є східчастою.

Можливі два випадки:

• у розширеній матриці існує рядок, в якому перший ненульовий елемент розташований на останньому місці, а саме у стовпчику з номером ;

• такого рядка в матриці не має.

У першому випадку система рівнянь містить рівняння вигляду:

Зрозуміло, що будь-яка сукупність чисел не буде задовольняти цьому рівнянню. Таким чином, у розглянутому випадку система рівнянь не має розв’язків, і тому є несумісною.

Розглянемо другий випадок. Припустимо, що матриця розміру містить r ( ) ненульових рядків, та крім того перші ненульові елементи цих рядків розташовані у стовпчиках з номерами . За означенням східчастої матриці: .

Невідомі будемо називати головними (або залежними), а усі інші (якщо вони є) – вільними (або незалежними).

Вилучимо з системи рівнянь, яка визначається матрицею , рівняння, що відповідають нульовим рядкам. Очевидно, що це приводить до еквівалентної системи. Перенесемо у кожному рівнянні члени з вільними невідомими до правої частини, отримаємо систему рівнянь вигляду

.

У цій системі коефіцієнти відмінні від нуля, а – суми членів вихідних рівнянь, які були перенесені у праві частини.

З останнього рівняння системи, враховуючи той факт, що , визначаємо невідому . З передостаннього рівняння знайдемо , з попереднього по відношенню до передостаннього – та далі, доки з першого рівняння не знайдемо . Таким чином, одержимо r рівностей, які є виразами головних невідомих через вільні. При цьому n-вимірний рядок , у якому містяться вільні невідомі та вирази головних невідомих через вільні, називається загальним розв’язком вихідної СЛАР. При відсутності вільних невідомих (коли усі невідомі – головні), цей процес приведе до рівностей, з яких легко отримати числові вирази головних невідомих. Якщо вільні невідомі у системі відсутні, то зрозуміло, що вона має єдиний числовий розв’язок (який збігається з загальним), тобто система – означена. В іншому випадку надамо вільним невідомим деякі числові значення та за допомогою виразів головних невідомих через вільні, які містяться у загальному розв’язку, визначимо відповідні значення головних невідомих. Одержимо сукупність значень величин , яка задовольняє усім рівнянням системи з розширеною матрицею , та називається окремим розв’язком системи. Окремий розв’язок визначається тими значеннями, які приймали вільні невідомі. Тому, у випадку, коли система з розширеною матрицею має хоч одну вільну невідому, вона має безліч окремих числових розв’язків.