§ 1.2. Елементарні перетворення рядків матриці
Означення 1.2.1. Будемо розглядати елементарні перетворення рядків матриці першого та другого типів:
зміна місцями двох рядків матриці (перетворення першого типу);
додавання до деякого рядка матриці другого її рядка, який помножений на довільне дійсне число (перетворення другого типу).
Теорема 1.2.1. Будь-яку матрицю скінченого розміру за допомогою скінченого числа елементарних перетворень рядків можна звести до східчастого вигляду.
Виключаємо з розгляду нульову матрицю та матрицю-рядок. Для цих матриць твердження теореми вірно.
Нехай
А
–
матриця розміру
,
що містить хоч один ненульовий елемент,
а внаслідок цього хоч один ненульовий
рядок. Виберемо з ненульових рядків
такий, в якому перший ненульовий елемент
розташовано у стовпчику з найменшим
номером. Позначимо цей номер через
.
Перенесемо означений рядок на перше
місце, при цьому ми зробили елементарне
перетворення першого типу. Тоді матриця
А
перетвориться на матрицю:
.
Відзначимо,
що
(зауважимо, що при
нульові стовпчики у матриці В
відсутні).
Застосуємо
далі до матриці В
елементарні перетворення другого типу:
до другого рядка матриці додамо перший,
помножений на
;
до третього рядка додамо перший,
помножений на число
і т. д. Наприкінці одержимо матрицю С.
У стовпчику з номером
матриці С
усі елементи за винятком першого –
нульові:
.
Якщо
з’ясується, що матриця
– вже є східчастою, то теорема доведена.
У іншому випадку виключаємо з розгляду
перший рядок матриці
та застосовуємо до отриманої матриці
описані вище дії. Зрозуміло, що вихідна
матриця
після скінченого числа тих самих
елементарних перетворень, які виконувалися
над матрицею
,
буде приведена до вигляду:
.
Якщо
матриця
не є східчастою, тоді виключаємо з
розгляду два її перші рядки та до
одержаної матриці
знов застосовуємо вищеозначені дії.
Після цих перетворень вихідна матриця
буде приведена до вигляду
.
Очевидно, що після скінченого числа описаних вище елементарних перетворень матриця А буде зведена до східчастого вигляду.
Приклад. За допомогою елементарних перетворень рядків звести матрицю
до східчастого вигляду.
Розв’язання. Виконуємо спочатку елементарне перетворення першого типу, а саме змінюємо місцями перший та другий рядки матриці
.
Далі виконуємо зазначені нижче перетворення другого типу:
.
Отримана матриця В є східчастою.
Теорема 1.2.2. Якщо від матриці А до матриці В можна перейти за допомогою скінченого числа елементарних перетворень рядків, то і від матриці В до матриці А можна перейти за допомогою скінченого числа елементарних перетворень рядків.
Спочатку доведемо цю теорему для випадку одного елементарного перетворення рядків матриці. Якщо матриця В одержана з матриці А після переставлення двох рядків матриці А, то зрозуміло, що змінивши місцями ці два рядки в матриці В, отримаємо вихідну матрицю А. Припустимо далі, що i-тий рядок матриці В одержали з i-го та k-го рядків матриці А після такого перетворення другого типу:
(i-тий рядок В) = (i-тий рядок А) + (k-тий рядок А).