ДВНЗ: ЗНУ - кафедра алгебри та геометрії Навчальна дисципліна: Алгебра та геометрія

33

Тема 1: Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

§ 1.1. Поняття n-вимірного рядка та матриці

Означення 1.1.1. n-вимірним рядком називається упорядкована сукупність n дійсних чисел . Числа називають координатами рядка; – i-та координата рядка, .

Рядок з координатами будемо позначати так: . Рядок будемо називати нульовим.

Означення 1.1.2. Два рядки та називаються рівними, якщо їх вимірності та відповідні координати збігаються, тобто якщо та , .

Означення 1.1.3. Додавання двох n-вимірних рядків та множення n- вимірного рядка на дійсне число визначаються за правилами:

+ = ;

 = .

Приклад. Знайти суму двох рядків , та добуток першого рядка на число .

Розв’язання. За означенням 1.1.3 операції додавання рядків:

.

Згідно з означенням множення рядка на число:

.

Для стислості викладання будемо на подальшому n-вимірні рядки позначати латинськими буквами , а дійсні числа – грецькими буквами .

Операції додавання рядків та множення рядка на число мають такі властивості:

1) 2) 3)

4) 5) 6) ; 7) .

Тут – довільні n-вимірні рядки, – довільні дійсні числа, – нульовий рядок, .

Властивість 1) характеризується як «комутативність відносно додавання», а властивість 2) як «асоціативність відносно додавання».

Доведемо одну з цих властивостей, наприклад, 4.

Нехай , , тоді:

/за означенням операції множення рядка на число/ /за властивістю дистрибутивності у множені дійсних чисел/  /за означенням операції додавання рядків/ /повертаючись до вихідних позначень/ .

Таким чином, для будь-яких рядків , та будь-якого числа має місце рівність .

Введемо поняття матриці.

Означення 1.1.4. Матриця – це прямокутна таблиця, яка складається з n-вимірних рядків, що розташовані один під одним:

.

Числа називають елементами матриці та позначають маленькими латинськими буквами із двома індексами: перший – номер рядка, у якому розташовано елемент, другий – номер стовпця. Наведена вище матриця А містить m рядків та n стовпчиків. У цьому випадку кажуть, що вона є матрицею розміру . Будь-який рядок матриці А можна розглядати як матрицю розміром , а будь-який стовпчик – як матрицю розміру .

Приклад. Матриця має розмір , матриця – це матриця-рядок розміру , а матриця – це матриця-стовпчик розміру .

Матриця, усі елементи якої дорівнюють нулю, називається нульовою. Матрицю розміру називають квадратною матрицею порядку n. Квадратна матриця вигляду

називається одиничною.

Головною діагоналлю квадратної матриці називається діагональ проведена з лівого верхнього у правий нижній кут цієї матриці. Побічною діагоналлю квадратної матриці називається діагональ, що проведена з лівого нижнього у правий верхній кут матриці.

Означення 1.5. Східчастою матрицею називається матриця, яка задовольняє таким умовам:

• якщо який-небудь рядок матриці нульовий, то усі рядки, що розташовані після нього, також нульові;

• якщо перші ненульові елементи i-го та -го рядків (тобто двох сусідніх рядків) розташовані у стовпчиках з номерами та , то , тобто якщо розглядати два сусідні ненульові рядки, то перший ненульовий елемент у верхньому рядку зустрічається раніше, ніж у нижньому.

Приклад. З’ясувати, чи є східчастою матриця А:

.

Розв’язання. Ця матриця – східчаста, оскільки вона задовольняє усім умовам означення, а саме: та .

За домовленістю, до східчастих матриць будемо відносити нульову матрицю та матрицю, яка містить тільки один рядок.