Коефіцієнт кореляції лінійно залежних випадкових величин

Y=aX+b

K_xy=M( )=M((X-m_x)(Y-m_y))=M((X-m_x)(aX+b-am_x-b))=aM((X-m_x)²)=a Dх

r_xy=

D_y=D(aX+b)=a²D_x

_y=|a| _x

r_xy=

Доведемо, що r_xy 1. Розглянемо

в. в. Z= _yX _xY

D_z= _y²D_{x x}²D_y 2 _{x y}K_xy

D_z=2 _x² _y² 2 _{x y}K_xy

2 _x² _y² 2 _{x y}K_xy 0 (так як D_z 0)

_{x y} K_xy 0|K_xy| _{x y}

|r_xy| 1.

Характеристичні функції

Характеристичною функцією випадкової величини Х називається функція

g(t)=M(e^itx ) (1)

тобто математичне сподівання комплексної випадкової величини

U=e^itx

Характеристична функція дискретної випадкової величини Х

g(t)= (2), де

хі	х1	х2	…	хn
рі	р1	р2	…	рn

– ряд розподілу в. в. Х.

g(t)= (3)

для неперервної вип. вел. Х.

Приклад. в. в. Х – число попадань при одному пострілі. Ймовірність попадань дорівнює р. Знайти g(t).

q(t)=e^{it 0}(1-р)+e^{it 1}р=qte^itp

2. в. в. Х. має нормальний розподіл

f(x)= (4)

Знайти g(t)

g(t)= =

= = =

= = (5)

Використовуючи відому формулу

маючи на увазі, що

g(t)= (6)

Перетворення (3) називається перетворенням Фур’є. Обернене перетворення Фур’є

f(x)=

Властивості характеристичної функції :

1. Якщо Y=aX+b, де a – const , то

g_y(t)=g_x(at)

g_y(t)=M(e^ity)=M(e^itax)=M(e^i(at)x =g_x(at)

2. Характеристична функція суми незалежних випадкових величин дорівнює добутку характеристичних функції доданків.

Нехай х₁, х₂, …, х_n – незалежні в.в. з характеристичними ф-ями

g х₁(t), g х₂(t), …, g х_n(t)

і їх сума Y=

Потрібно довести, що

g_y(t)=

Маємо

g_y(t =M(e^ity)=M(e^it )=M =

=

Доведено.

Приклад. Нехай маємо дві незалежні в. в. Х і У з щільностями f₁(x) , f₂(y).

Необхідно знайти щільність Z=X+Y . Знайдемо

g_х(t) та g_y(t)

g_z(t)=g_x(t) g_y(t)

за оберненим перетворенням Фур’є

f₃(z)=

Нехай Х та У розподілені за нормальним законом

f₁(x): m_x=0 ; 6_x

f₂(y): m_y=0 ; 6_y

Представимо x= _xU , де m_u=0, _u=1

g_u(t)= (дивись попередній приклад)

Згідно властивості 1

g_х(t)=g_u( _xt) =

Аналогічно

g_у(t)=

g_z(t)=g_x(t) g_y(t)=

а це є нормальний закон з m_z=0,

_z=

Центральна гранична теорема для однаково розподілених доданків

Теорема. Якщо х₁, х₂, …, х_n ,… – незалежні випадкові величини з одним і тим же законом розподілу (m,6²), то при n закон розподілу суми

У_п= (1)

необмежено наближається до нормального.

Доведення. Розглянемо х₁,…, х_n – неперервні випадкові величини. Характеристичне рівняння для х_і

g_x(t)= (2)

g_y^(t)_n=(g_x(t))ⁿ (3)

згідно з попередніми теоремами.

Використаємо формулу Маклорена при t=0

g_x (t) = g_x (0)+ g^’_x (0)t+( )t²,

де при

Знайдемо із (2) при t=0

(5)

Продиференціюємо (2)

(6)

(7)

Не обмежуючи загальності , можна покласти m=0 (для цього достатньо перенести початок координат в точку m ).

Тоді

(8)

При m=0 інтеграл (8) є Dх

(9)

Підставляючи в (4) , одержимо

(10)

Перейдемо від випадкової величини У_п до випадкової величини

(11)

Ця величина зручна тим, що її дисперсія не залежить від п і дорівнює одиниці при будь-якому п. В цьому неважко переконатись, розглядаючи в.в. z_n як лінійну функцію незалежним в.в. х₂,…, х_n кожна із яких має дисперсію 6². Якщо ми доведемо, що закон розподілу величини z_n наближається до нормального, то очевидно, це буде справедливо і для величини у_п , яка зведена з z_n лінійною залежністю (11).

Замість того, що довести , що закон розподілу величини z_n при наближається до нормального б покажемо, що її характеристична функція наближається до хар-ної функції нормального закону. Хар. ф-ція z_n

із (11,8) (12)

Із (12) і (3)

(13)

Із (10)

(14)

Позначимо

(15)

Тоді (16)

При (див. (15))

(один член розкладу взято)

Тоді

По визначенню при

Звідси і

Звідси (17)

Але це є характеристична функція нормального закону з

.

Таким чином , при характеристична функція до характеристичної функції нормального закону.

Звідси впливає, що і закон розподілу z_n (а значить і ) до нормального закону. Доведено.

Для неоднаково розподілених в.в. А.М. Лепунов довів центр. граничну теорему при умові:

(18)

де – третій абсолютний центральний момент величини ,

D_к – дисперсія величини .

Найбільш загальною (необхідною та достатньою) умовою справедливості центральної граничної теореми є умова Ліндерберга: при будь-якому >0

де – математичне сподівання,

– щільність розподілу випадкової величини ,