Лекція №4 Закони розподілу функцій випадкових аргументів Закон розподілу монотонної функції одного випадкового аргумента

Будемо розглядати неперервні випадкові величини. Розглянемо випадкову величину χ з щільністю розподілу f(χ). Нехай випадкова величина Y зв’язана з χ функціональною залежністю:

Y=φ(χ) (1)

φ – неперервна та диференційована

Потрібно знайти щільність для Y. Нехай P( а < χ<b) =1 (2)

(можливо a= -∞ b= +∞ )

Нехай γ=φ(χ) монотонна

1. γ=φ(χ) – монотонно зростає .

Коли величина Χ приймає різні значення на (a,b), випадкова точна (Χ,Y) переміщується тільки по кривій Y=φ(χ); ордината цієї випадкової точки повністю визначається її абсцисою.

Нехай g(γ) – щільність розподілу Y.

Зайдемо спочатку G(γ) – функцію розподілу Y:

G(γ)=P(Y<γ)

В

а

Проведемо пряму АВ, паралельно вісі ОХ на відстані γ від неї. Щоб виконувалась умова Y<γ випадкова точка (Χ,Y) повинна попасти на ту частину кривої, яка лежить нижче прямої АВ; для цього необхідно і достатньо, щоб випадкова величина Χ попала на участок вісі ОХ від а до χ, де χ – абсциса точки перетину кривої γ=φ(χ) і прямої АВ. Отже

G(γ)=P(Y<γ)=P(a<Χ<χ)=

Верхню границю інтеграла можна виразити через γ:

χ=ψ(γ) (3)

ψ(γ)=φ^-(χ) – обмежена функція

Тоді G(γ)= (4)

Диференціюючи інтеграл (4) по змінній γ, одержимо

g(γ)=G΄(γ)=f(ψ(γ)) ψ΄(γ) (5)

2. Функція γ=φ(χ) на інтервалі (a,b) монотонно спадає. В цьому випадку

G(γ)=P(Y<γ)=P(a<Χ<χ)= , звідки

g(γ)=G΄(γ)=-f(ψ(γ)) ψ΄(γ) (6)

Обидві формули (5) та (6) можна об’єднати в одну

g(γ)=f(ψ(γ)) │ψ΄(γ)│ (7)

Приклад. Випадкова величина Χ підпорядкована закону Коші з щільністю розподілу

Y=1-χ³. Знайти g(γ)-?

f(χ) γ=φ(χ) χ=ψ(γ) ψ΄(γ) │ψ΄(γ)│ g(γ) =f(ψ(γ)) │ψ΄(γ)│

монотонно спадна

Числові характеристики функцій випадкових величин Математичне сподівання, дисперсія функції

Часто на практиці немає необхідності знайти закон розподілу функції випадкової величини, а достатньо знайти деякі числові характеристики цієї функції.

Розглянемо тому задачу: випадкова величина Y є функція декількох випадкових величин Y = φ (Χ₁,Χ₂,…,Χ_n)

Відомий закон розподілу системи аргументів (Χ₁,Χ₂,…,Χ_n); необхідно знайти числові характеристики величини Y, в першу чергу – математичне сподівання та дисперсію.

Нехай ми знайшли закон розподілу g(γ) величини Y. Тоді

і т.д.

Проте закон g(γ) дуже важко знайти. Та для числових характеристик величини Y він не завжди потрібен, більше того, не завжди потрібен закон розподілу (Χ₁,Χ₂,…,Χ_n), достатньо знайти лише числові характеристики цієї системи. Розглянемо деякі випадки.

1. Задана випадкова величина Χ зі своїм законом розподілу і Y=φ(Χ)

Потрібно знайти m_y, не знаючи g(γ).

m_y=M(φ(χ)) (1)

Нехай Х – дискретна випадкова величина

Χі	Χ1	Χ2	….	Χn
Pі	Р1	Р2	….	Рn

φ(Χі)	φ(Χ1)	φ(Χ2)	….	Φ(Χn)
Pі	Р1	Р2	….	Рn

(2)

(3)

Таким чином, для визначення математичного сподівання функції зовсім не вимагається знати закон розподілу цієї функції, а достатньо знайти закон розподілу аргумента.

Для неперервної величини:

(4)

де f(x) – щільність розподілу випадкової величини X

(5)

За аналогією

(6)

(7)

(8)

Або

(9)

(10)

Теореми про числові характеристики

1. M(C)=0

2. D(C)=0

3. M(CX)=CM(x)

4. D(Cx)=C²D(X)

5. M(X+Y)=M(X)+M(Y)

6. 

7. D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Kxy

K xy=M(X⁰Y⁰)=M((X-m_x)(Y-m_y))

коефіцієнт кореляції

Для некорельованих величин Kxy=0

8. 

9. 

10. 

Тут X та Y – незалежні випадкові величини.