Вопросы для самоконтроля

1. Составьте алгоритм умножения двух комплексных величин.

2. Составьте алгоритм деления двух комплексных величин.

Задания для самоконтроля

Заданы два комплексных числа: = 100 e^j67 и = 20 e^j37.

1. Найти произве­дение этих комплексов и их частное от деления.

5.4. Умножение вектора на j и на –j

Допустим, что необходимо умножить вектор = Аe^j на вектор j = e^j90. В соответствии с п.5.3: j = Ae^j(+90) .

Изобразим векторы и j на комплексной плоскости (рис.5.4).

Т аким образом, умножение век­тора на j даёт вектор, равный по вели­чине предыдущему, но повернутый против часовой стрелки относительно положения предыдущего вектора на угол 90.

Умножим теперь этот же вектор на вектор –j = e^{– j90}: (–j) = Ae^{j(– 90)} .

Итак, умножение вектора на –j даёт вектор, равный по величине пре­дыдущему, но повернутый по часовой стрелке относительно положения пре­дыдущего вектора на угол 90.

Вопросы для самоконтроля

1. Что даёт умножение любого вектора на комплексной плоскости на j ?

2. Что даёт умножение любого вектора на комплексной плоскости на –j ?

Задания для самоконтроля

Задано комплексное число: = 200 e^–j30.

1. Найти комплексы и и изобразить их векторами на комплексной плоскости.

5.5. Изображение производных и интегралов синусоидальных токов

Пусть мгновенное значение тока i = I_m sin(t + _i) .

Комплекс этого тока

, т.е. і  İm.

(5.7)

Возьмём производную тока:

= Im sin(t + i + 90).

Изобразим производную тока комплексом:

	(5.8)
т.е.

Возьмём интеграл тока:

.

Изобразим интеграл тока комплексом:

	(5.9)
т.е.

Таким образом, производная тока изображается комплексом тока, умножен­ным на j, а интеграл тока – комплексом тока, делённым на j.

Вопросы для самоконтроля

1. Как изобразить производную тока комплексом?

2. Как изобразить интеграл тока комплексом?

Задания для самоконтроля

Задано выражение мгновенного тока: i = 28,2 sin(t + 90) А.

1. Запи­сать комплексы производной тока и интеграла тока – и idt.

5.6. Закон Ома в комплексной форме

Рассмотрим расчётную схему цепи с последовательно соединёнными активным сопротивлением, индуктивностью и ёмкостью (рис.3.31).

Допустим, что в цепи протекает ток i = I_m sin(t + _i), напряжение источника u = U_m sin(t + _u).

В соответствии с первым законом Кирхгофа: u = u_r + u_l + u_с ,

или .

(5.10)

Перейдём теперь от оригиналов к изображениям:

	; ; ri  rİm;
	;

Перепишем уравнение (5.10) с помощью изображений в комплексной форме:

(5.11)

откуда изображение тока:

(5.12)

Множитель представляет собой комплекс полного сопротив­ления цепи, имеет единицу измерения Ом и обозначается Z :

,

(5.13)

где r – активное сопротивление цепи, Ом;

х = х_L – х_с – реактивное сопротивление цепи, Ом.

Запишем закон Ома в комплексной форме для максимальных значений на­пряжения и тока:

(5.14)

Из уравнения (5.14) находим:

,

где – модуль комплекса полного сопротивления цепи, Ом.

Комплекс полного сопротивления цепи и его составляющие изображаются на комплексной плоскости в виде треугольника (рис.5.5).

Модуль полного сопротивления:

.

Угол сдвига фаз:

,
или .