1.2. Движение частицы в сферически симметричной прямоугольной потенциальной яме.

Развитие нанотехнологии инициировало широкое исследование новых классов нанообъектов, в частности квантовых точек, в кото­рых осуществляется пространственное ограничение носителей за­ряда в трех измерениях. Квантовые точки как квазинульмерные системы важны не только как возможная элементная база для наноэлектроники, но и как модельные объекты для фундаментальных исследований. Электронный спектр изолированных КТ представ­ляет собой набор дискретных уровней размерного квантования, и в этом смысле они могут рассматриваться как гигантские искусст­венные атомы с контролируемо изменяемыми параметрами, таки­ми как глубина и характер удерживающего потенциала, число час­тиц и характерные размеры области их локализации.

Вид удерживающего потенциала определяется способом полу­чения КТ. Для его представления наиболее часто используются модель «жестких стенок» и модель параболического удержива­ющего потенциала.

Соответствующая ортонормированная система одночастичных волновых функций имеет вид

(1.7.12)

где m-магнитное квантовое число; -присоединенные функции Лежандра первого рода; Г(x) - гамма-функция Эйлера; - обобщенный многочлен Лагерра; r,Θ,φ- сферические ко­ординаты от центра ямы; α - параметр крутизны удерживающего потенциала U(r,Θ,φ)=αr². Так как каждое значение может быть получено несколь­кими комбинациями значений n и l, стационарные состояния сферического осциллятора, начиная с третьего, оказываются g(N)-кратно вырожденными, причем

g(N)=0,5(N+1)(N+2) (1.7.13)

Например, уровень энергии будет шестикратно вы­рожден. В одном из этих шести состояний угловой момент (а следо­вательно, и орбитальное квантовое число l) равен нулю (s-состояние), а остальные пять состояний относятся к d-состояниям, которые различаются проекциями углового момента.

Необходимо отметить, что в случае сферического осциллятора вырождение каждого из p-, d-, f - и т.д. состояний является ре­зультатом сферической симметрии потенциального поля, а вырож­дение, благодаря которому s-состояние имеет энергию, совпадаю­щую с энергией d-состояния (при N = 2), является «случайным». Оно обусловлено не симметрией задачи, а квадратичной зависимо­стью потенциальной энергии от радиуса. Если зависимость потен­циальной энергии от радиуса будет отличаться от квадратичной (т.е. от U(r,Θ,φ)=αr²), например, членом βr^2k, то вырождение, связанное со сферической симметрией, сохранится, а случайное - будет отсутствовать.

1.3. Энергетические состояния в прямоугольной квантовой яме с бесконечными стенками и дополнительным провалом.

Возможность получения слоев с произвольным профилем из­менения состава позволила для улучшения характеристик прибо­ров использовать структуры с КЯ сложной формы. Так, для созда­ния нового поколения резонансно-туннельных диодов и гетеролазеров с раздельным электронным и оптическим ограниче­нием применяются структуры с прямоугольными КЯ, в центре которых имеется дополнительный провал (рис. 1 .9, а).

Рассмотрим влияние дополнительного провала на энергетиче­ский спектр КЯ с бесконечно высокими стенками (рис. 1.9, б). При анализе учтем, что провал получен изменением материала и, следовательно, в области провала эффективная масса электрона m₁ может отличаться от эффективной массы m₂ в приле­гающих областях .

Рис. 1.9. Энергетическая диаграмма квантовой ямы с конечны­ми (а) и бесконечными (б) стенками и дополнительным потен­циальным провалом

В случае, когда эффективная масса зависит от координаты, од­номерное уравнение Шредингера может быть представлено так:

(1.8.1)

Для областей 1 и 3 уравнение (1.8.1) принимает вид

Аналогично для области 2 ( ) имеем

Найдем положение разрешенных энергетических уровней для E>0 (т.е. попадающих в широкую часть КЯ). В этом случае волно­вая функция во всех трех областях может быть представлена в виде

где

Для нахождения коэффициентов A_j и B_j , как обычно, восполь­зуемся условиями, обеспечивающими непрерывность волновой функции (непрерывность плотности частиц) и плотности потока частиц. Тогда при имеем

(1.8.2)

Кроме того, так как стенки КЯ бесконечно высокие, при (1.8.3)

Используя граничные условия (1.8.2) и (1.8.3), получим два уравнения:

(1.8.4)

(1.8.5)

из которых первое определяет разрешенные K (а следовательно, и E_n) для четных состояний, а второе - для нечетных.

Анализ выражений (1.8.4) и (1.8.5) позволяет выявить влияние провала и различия эффективных масс на положение разрешенных уровней энергии.

Так, для основного (нижнего) четного состояния из (1.8.4) по­лучаем

(1.8.6)

Рис. 1.10. Графическое решение уравнения (1.8.6): 1- ; 2 – 5 - ; 2 – m2=m1, U=0; 3 - m2<m1, U=0; 4 - m2<m1, U≠0; 5 - m2=m1, U≠0

где

(1.8.7)

На рис. 1.10 представлено решение уравнения (1.8.6) графиче­ским методом.

Разрешенные значения K₁ при известной ширине КЯ (2l) опре­деляются точками пересечения прямой 1 (соответствующей правой части уравнения (1.8.6)) с зависимостями (кривые 2-5).

Анализ (1.8.6), (1.8.7) и приведенных зависимостей показывает, что для основного четного состояния: 1 - уменьшение эффек­тивной массы m₂ сдвигает разрешенный уровень энергии в об­ласть больших энергий; 2 - увеличение ширины d и глубины U провала понижает разрешенный уровень энергии; 3 - резуль­тирующее смещение уровня энергии определяется суперпозици­ей данных эффектов, при этом влияние эффективной массы обычно слабее. Так, при m₂→0 аргумент arctg в (1.8.7) стремится к

т.е. влияние т₂ на решение уравнения (1.8.6) вообще исчезает, а влияние (d и U остается.

Увеличивая ширину и глубину провала, можно «затянуть» ос­новной четный уровень из широкой части квантовой ямы в провал.

В этом случае кривые не будут пересекать прямую l (рис. 1.10) при , а следовательно, производная функции по переменной в точке станет меньше еди­ницы. Отсюда следует, что условие существования основного чет­ного уровня в широкой части потенциальной ямы имеет вид

(1.8.8)

где

Анализ (1.8.8) показывает, что увеличение d, U, т₁ или m₂ способствует втягиванию основного четного уровня в провал.

Рассмотрим теперь влияние параметров системы на положение первого возбужденного (нечетного) состояния. Как следует из (1.8.5), выражение для определения разрешенных значений K мо­жет быть представлено как

(1.8.9)

где

(1.8.10)

Решение уравнения (1.8.9) графическим методом показано на рис. 1.11.

Рис. 1.11. Графическое решение уравнения (1.8.9): 1- ; 2 – 5 - ; 2 – m2=m1, U=0; 3 - m2<m1, U=0; 4 - m2=m1, U≠0; 5 - m2<m1, U≠0

Анализ показывает, что и в этом случае уменьшение т₂ уве­личивает разрешенное значение энергии, а рост d и U умень­шает, однако теперь ослабляется роль U. Так, устремляя m₂ к нулю, видим, что аргумент arctg в (1.8.10) стремится к

т.е. влияние U исчезает.

Различное влияние U и m₂ на положение основного и первого воз­бужденного состояний связано с различным видом волновых функ­ций, соответствующих этим состояниям. Если для основного состояния в области провала велико значение и мало значение , то для первого возбужденного, наоборот, велико , но мало . Так как средняя энергия в данном состоянии

то оказывается, что в основном состоянии средняя энергия будет более «чувствительна» к наличию и величине провала, а в первом возбужденном состоянии - к значению m₂.

В результате оказывается, что можно создать структуру, у которой наличие слоя с меньшей эффективной массой приве­дет к понижению энергии основного и повышению энергии воз­бужденного состояния, т.е. энергетический зазор между этими уровнями станет больше, чем в случае простой квантовой ямы, что, например, используют для увеличения контрастности ВАХ резонансно-туннельных диодов.