Лекция №3 особенности энергетического спектра частиц в системах пониженой размерности План лекции

1.1. Потенциальный барьер конечной ширины.

1.2. Интерференционные эффекты при надбарьерном пролете частиц.

1.1. Потенциальный барьер конечной ширины.

В реальной физической ситуации мы всегда имеем дело с барь­ером конечной ширины. Найдем коэффициенты отражения и про­хождения при движении частицы через прямоугольный потенци­альный барьер ширины I и высоты U₁ в предположении, что энер­гия частицы U₂<Е< U₁ (рис. 1 .2, а).

Используя результаты разд. 1.1, можем сразу записать решения уравнения Шредингера для трех областей (1, 2 и 3):

(1.2.1)

где К₁ , ,

При записи уравнений (1.2.1) учтено, что в области 3 нет ис­точников частиц и рассеивающих центров, т.е. будет распростра­няться только прошедшая волна.

Подставив (1.2.1) в (1.1. 10) и (1.1. 11), получим

, (1.2.2)

Амплитуды В₁ и A₃ найдем из системы линейных алгебраиче­ских уравнений, полученной с использованием условия непрерыв­ности волновой функции и ее первой производной на границе двух областей.

Так, при х = 0 имеем

А₁+В₁=А₂+В₂,

(1.2.3)

Рис. 1.2 Энергетическая диаграмма прямоугольного потенциального барьера

При x=L

(1.2.4)

Решив систему уравнений (1.2.3), (1.2.4), для несимметричного барьера (рис. 1.2,а) получим

, (1.2.5)

(1.2.6)

Отсюда для случая симметричного барьера (рис 1.2 б), когда K₁=K₃, запишем

(1.2.7)

(1.2.8)

Анализ выражений (1.2.5) и (1.2.7) показывает, что в случае барьера конечной ширины и высоты появляется конечная вероят­ность частице пройти под барьером, что абсолютно невозможно в классическом случае, так как при E<U₀ формально значение кине­тической энергии T становится отрицательным:

T = E-U₀<0.

Проникновение частицы с энергией E<U₀ через потенциальный барьер - чисто квантово-механический эффект, что видно из фор­мулы (1.2.5) (если положить в ней =0, получаем D=0). Это явле­ние носит название туннельного эффекта.

Отметим, что коэффициенты прохождения (1.2.5) и отражения (1.2.6) оказываются симметричными по индексам 1 и 3. Это озна­чает, что проницаемость барьера одинакова для потоков, па­дающих справа и слева. Из уравнения (1.2.5) также следует, что прошедший поток монотонно стремится к нулю, если либо К₁, либо К₃ стремится к нулю. Заметим также, что проведенный анализ и формулы (1.2.5), (1.2.6) могут быть распространены и на случай барьера, показанного на рис. 1.2, в, путем замены потенциала U₂ на (-U₂).

1.2. Интерференционные эффекты при надбарьерном пролете частиц.

Рассмотрим особенности прохождения частицы над прямо­угольным потенциальным барьером (рис. 1.2, а), когда E>U₁, и E>U₂. Сразу отметим, что надбарьерное прохождение частиц может служить одним из простейших примеров проявления кванто­вых размерных эффектов. Последние в этом случае приводят к квазипериодической осцилляции коэффициента прохождения частиц при изменении их энергии Е.

В данном случае решение уравнения Шредингера для всех трех областей будет иметь вид

,

здесь j- номер области. При этом, в отличие от (1.2.1),

К₂ (1.3.1)

где Е₂ =E-U₁.

Полагая, как и ранее, что частицы движутся слева направо, в отсутствии рассеяния можно получить

, (1.3.2)

R = 1-D; (1.3.3)

Заметим, что выражения (1.3.2), (1.3.3) переходят в (1.2.5), (1.2.6), если учесть, что К₂ =-i

В случае симметричного барьера, когда К₁ = К₃ (рис. 1.2, б), выражения (1.3.2) и (1.3.3) упрощаются и принимают вид

(1.3.4)

(1.3.5)

Анализ (1 .3.4) и (1.3.5) показывает, что при изменении энергии частицы Е будут наблюдаться осцилляции коэффициентов прохождения и отражения. При этом, когда D=D_max, то R = R_min , и наоборот. Период осцилляции соответствует условию

или

K_2,nL=n (1.3.6)

при выполнении, которого коэффициент прохождения для частиц с волновым вектором K_2,n обращается в единицу. В этом случае для частиц с энергией

Е_2,n=Е-U₀ (1.3.7)

на ширине барьера L укладывается целое число полуволн де Бройля и коэффициент отражения равен нулю. Квазиклассически это можно трактовать как результат интерференции волн, отраженных от скачков потенциала на границах барьера. Условие (1.3.7) можно еще записать в виде

(1.3.8)

Величина V_n равна энергии n-го уровня частицы, локализован­ной внутри потенциальной ямы шириной L с бесконечно высокими стенками, т.е. резонансные значения энергии Е_2,n совпадают с энергией n-го уровня такой ямы.

При изменении энергии частицы коэффициент прохождения осциллирует, как показано на рис. 1.3. Минимальные значения D=D_min, соответствующие им значения Е'_2п («антирезонанс­ные» состояния) можно приближенно оценить из условия

Отсюда

n=1,2…; (1.3.9)

D_min,n (1.3.10)

С ростом номера п и уменьшением ширины барьера L мини­мальный коэффициент прохождения D_min,n быстро возрастает, так что осцилляции становятся все менее выраженными. Увеличение высоты барьера U₀, напротив, уменьшает D_min,n, увеличивая ам­плитуду осцилляции, при этом соответствующие антирезонансные значения остаются постоянными (рис. 1.3).

Используя предыдущие рассуждения (симметричный барьер), можно получить выражение для оценки отношения концентрации

Рис. 1.3 Зависимости коэффициента прохождения над потенциальным барьером от энергии

частиц в окрестности точки с координатой 0 < x < L (над барьером) к концентрации частиц в падающей волне (см. рис. 1.2, б)

(1.3.11)

здесь D определяется выражением (1.3.4).

Согласно (1.3.11) для частиц, имеющих энергию Е, удовлетво­ряющую условию (1.3.6), когда D> D_mах = 1, получим

Q(x=0) =1, Q(x=L/2)=E/(E-U₀)=1+(U₀/E₂), Q(x=L)=1 (1.3.12)

Следовательно, в данном случае концентрация частиц с энерги­ей E в области, занимаемой барьером, будет больше, чем в падаю­щей волне, т.е., несмотря на то, что при Е > U₀ волновая функция электрона «размазана» по всему пространству, существуют из­бранные значения энергии (и импульса) Е_т при которых вслед­ствие интерференции электронных волн, отраженных от гра­ниц барьера, амплитуда волновой функции в области барьера будет больше, чем в других областях.

Сделанные выводы справедливы и в случае несимметричного барьера (см. рис. 1.2, а, в, г). Однако при этом D_mах будет меньше единицы, поэтому все эффекты выражены слабее.

В реальных полупроводниковых структурах наблюдать и тем более использовать на практике квантовые осцилляции вероятно­сти надбарьерного прохождения носителей заряда достаточно трудно, поскольку над барьером могут проходить лишь «горячие» электроны, причем увеличение эффекта за счет более высоких барьеров требует соответствующего повышения их энергии. Кроме того, уменьшение коэффициента прохождения при увеличении энергии электронов, которое в принципе могло бы привести к по­явлению падающего участка на ВАХ структуры, реально оказыва­ется либо малым, либо происходит на интервале энергий 30.. .50 мэВ, сравнимом с тепловым разбросом при комнатной тем­пературе, и поэтому при температурах выше комнатной сильно размыто.