1.3. Энергетическая диаграмма структуры с одиночной квантовой ямой. Энергетическая диаграмма одномерной сверхрешётки

Полупроводниковые квантово-размерные структуры на основе гетеропереходов принято различать по числу направлений, вдоль которых происходит ограничение движения носителей заряда (электронов или дырок). Если их движение ограничено вдоль одного из направлений, например, вдоль оси х₁, то мы имеем дело с так называемой квантовой ямой. Для гетеропереходов 1-го типа такая структура изображена на рис. 1.3.

Рис. 1.3. Энергетическая диаграмма структуры с одиночной квантовой ямой. ne,h1 = 1,2... — квантовые числа нумерующие уровни размерного квантова­ния электронов и дырок. Заштрихованные области соответствуют областям непрерывных энергий.

Энергетический спектр носителей заряда в этом случае представляет собой двумерные подзоны:

,

где — энергия размерного квантования.

Если движение носителей заряда ограничено вдоль двух направле­ний, например, вдоль осей х₁ и х₂, то мы имеем дело с квантовыми проволоками (нитями), помещенными в матрицу широкозонного мате­риала. Энергетический спектр электронов и дырок в таких системах имеет вид одномерных подзон,

,

с энергией размерного квантования . И, наконец, ограничение движения по всем трем направлениям х₁, х₂ и х₃ приводит к такому понятию как квантовая точка, помещенная в матрицу широкозонного материала. Энергетический спектр связанных состояний в квантовых точках является чисто дискретным .

Если квантовые ямы периодически продолжить вдоль направления, перпендикулярного интерфейсу, с периодом D, то мы приходим к новой квантово-размерной структуре — одномерной сверхрешетке (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Энергетическая диаграмма одномерной сверхрешетки. Заштрихован­ные области соответствуют разрешенным значениям энергий для электронов и дырок.

Наличие барьеров конечной высоты и протяженности дает возмож­ность электронам и дыркам туннелировать из одной ямы в другую. В результате чего их дискретные уровни расщепляются в так называемые минизоны. Наличие трансляционной симметрии вдоль направления роста сверхрешетки (направление х₁) приводит к появлению дополни­тельного непрерывного квантового числа — сверхрешетчатого волно­вого вектора К₁ (-/D > K₁  /D). Таким образом, энергетический спектр носителей заряда в одномерной сверхрешетке будет состоять из чередующихся полос разрешенных и запрещенных энергий:

.

Аналогичным образом могут быть созданы двумерные сверхрешет­ки из квантовых нитей и трехмерные сверхрешетки из квантовых точек. При определенных значениях параметров материалов возможна ситуация, когда один или оба носителя будут локализоваться в проме­жутках между нитями (антинити) или точками (антиточки), т. е. в мат­рице. Такие сверхрешетки можно назвать соответственно двумерными и трехмерными квантовыми сетями. В любом случае энергетический спектр носителей заряда в двумерных сверхрешетках будет опреде­ляться выражением

,

а в трехмерных — (K₁, K₂, K₃). Здесь K — двумерный или трехмерный волновой вектор, характеризующий трансляционную сим­метрию соответствующих сверхрешеток.

ЛЕКЦИЯ №2

ОСОБЕННОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА ЧАСТИЦ В СИСТЕМАХ ПОНИЖЕНОЙ РАЗМЕРНОСТИ

План лекции

1.1. Рассеяние частиц на потенциальной ступеньке.

1.1. Рассеяние частиц на потенциальной ступеньке.

Проведем анализ системы, в которой частицы, испускаемые ис­точником, удаленным на большое расстояние, рассеиваются на той или иной преграде, уходя после этого в бесконечность.

Простейшей моделью данной задачи, соответствующей случаю рассеяния на потенциальном рельефе с большим масштабом неод­нородности, является рассеяние частицы на потенциальной ступень­ке (прямоугольном потенциальном барьере бесконечной ширины)

(1)

где U₀ = const (рис. 2.1, а).

Рис. 2.1. Энергетическая диаграмма (a) и зависимость коэффициента от­ражения R от Е/U0 (б) для прямоугольной ступеньки.

Исследуем особенности поведения частицы в таком потенци­альном рельефе. Будем полагать, что источник частиц находится далеко слева (при x-), а испускаемые им частицы движутся слева направо.

Поскольку задача стационарная (высота барьера не зависит от времени), отыскание состояний движения частицы сводится к ре­шению стационарного одномерного уравнения Шредингера

, (2)

здесь т - масса частицы; Е - полная энергия частицы.

В данном случае уравнение (2) удобно решать отдельно для областей x < 0 и x > 0. В области х < 0 (на рис. 2.1, а область 1), где U(х) = 0, (2) принимает вид уравнения для свободной частицы, а его общее решение

, (3)

где

. (4)

Если учесть, что в случае стационарных состояний волновая функция гармонически зависит от времени, то ₁ представляет со­бой суперпозицию падающей и отраженной волн де Бройля. Таким образом, А₁ является амплитудой волны, распространяющейся от источника к потенциальной ступеньке (падающие на ступеньку частицы), а В₁ - амплитудой рассеянной волны, распространяю­щейся назад к источнику (отраженные от ступеньки частицы).

В области х > 0 (область 2) уравнение (2) принимает вид

. (5)

Характер решения уравнения (5) определяется соотношени­ем между энергией падающей частицы Е, задаваемой источником, и высотой потенциальной ступеньки U₀.

В случае Е > U₀ общее решение для волновой функции в облас­ти 2 имеет вид

, (6)

где

. (7)

Учитывая однородность среды в области 2 (по постановке за­дачи здесь других источников рассеяния нет), амплитуду В₂ «встречной» волны в области 2 следует положить равной нулю. При этом А₂ является амплитудой волны, прошедшей за ступеньку (частицы, пролетающие над барьером). Таким образом, для Е > U₀

. (8)

Физический интерес представляют коэффициенты прохожде­ния и отражения, определяемые отношением плотностей по­токов прошедших и отраженных частиц к плотности потока падающих частиц. Для расчета коэффициентов прохождения D и отражения R воспользуемся понятием вектора плотности потока вероятности (квантовым аналогом классического вектора плотности потока частиц). Выражение для в одномерном случае при­нимает вид:

. (9)

С учетом (9) коэффициент прохождения (коэффициент про­зрачности)

, (10)

а коэффициент отражения

. (11)

Вычислим величину вектора плотности потока вероятности в области 2, для этого подставим (8) в (9):

. (12)

Аналогично в области 1 плотность потока вероятности падающих частиц может быть представлена в виде

, (13)

а плотность потока частиц, отраженных от потенциальной сту­пеньки,

. (14)

С учетом (10) и (11) имеем

(15)

и

. (16)

Таким образом, для определения коэффициентов прохождения и отражения необходимо выразить амплитуды прошедшей и отра­женной волн А₂ и В₁ через амплитуду падающей волны А₁.

Чтобы найти А₂ и В₁ воспользуемся условиями непрерывности волновой функции и сохранения потока частиц. Так как в нашем случае граница двух сред соответствует х = 0, из этих двух условий и вида функций ₁(х) и ₂(х) получим

, , (17)

откуда с учетом (1.1.15)-(1.1.17), (1.1.4) и (1.1.7)

; (18)

, (19)

где =E/U₀.

Плотность потока вероятности частиц при х > 0 равна

. (20)

Полученные результаты сильно отличаются от классических. Согласно законам классической механики частица, обладающая энергией Е > U₀, всегда проникает в область 2 (при полной потере кинетической энергии в случае Е = U₀).

Согласно законам квантовой механики при Е > U₀ имеется конечная вероятность отражения частицы от потенциально­го барьера, так что в области 1 есть встречный поток отра­женных частиц , причем отражение будет пол­ным, если Е = U₀. В любом случае D + R = 1.

Отметим, что для частиц, движущихся к барьеру из +, D и R могут быть вычислены тоже по формулам (18) и (19). При заданной полной энергии Е (Е > U₀) коэффициенты прохождения и отражения не зависят от направления движения частиц. То есть частицы, движущиеся к барьеру слева, имеют такую же веро­ятность отразиться от него, что и частицы с той же энерги­ей, движущиеся к барьеру справа. При этом вероятности про­хождения и отражения определяются только отношением Е/U₀. Смена направления движения приводит к изменению фа­зы отраженной волны. В нашем случае для частиц, падающих на ступеньку слева, отражение происходит в фазе с падающей волной, а при движении справа - в противофазе.

В случае, когда энергия падающей частицы Е < U₀, характер решения уравнения (5) радикально меняется. В соответствии с (7) К₂ становится мнимым и общее решение (6) будет не комбинация двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях, а совокупность двух монотонных функций.

, (21)

где .

Учитывая требование конечности волновой функции, необхо­димо положить С₁ = 0 (х > 0). Таким образом, при Е < U₀

(22)

«Сшивая» волновые функции (3) и (22) и их производные при х = 0, получим:

(23)

(24)

Отметим, что в случае Е < U₀ амплитуды В₁ и С₂ - комплекcные числа, а коэффициент отражения R равен единице:

Таким образом, при Е < U₀ все частицы отражаются от потенциальной ступеньки так, что в области 2 поток частиц отсутствует. Несмотря на это, в области 2 волновая функция отлична от нуля, т.е. имеется определенная, хотя и малая, вероят­ность проникновения частицы внутрь потенциального барьера. В области х > 0

Частица как бы проходит внутрь потенциального барьера и возвращается назад (поток частиц в области 2 отсутствует). При этом между падающей и отраженной волнами появляется фазовый сдвиг:

Эффективная глубина проникновения под барьер, на которой вероятность обнаружения частицы еще заметно отлична от нуля, имеет порядок величины 1/β.

Зависимость коэффициента отражения R от отношения Е/U₀ показана на рис. 2.1,б.