Лекция №9 процессы переноса в наноструктурах в электрических полях План лекции

1.1. Поперечный перенос в наноструктурах в электрическом поле.

1.1. Поперечный перенос в наноструктурах в электрическом поле.

В этом разделе мы рассмотрим движение носителей в направле­нии, перпендикулярном плоскостям потенциальных барьеров, разделяющих квантовые гетероструктуры. Такой вид перено­са часто ассоциируется с квантовым переносом или туннелированием, поскольку при этом энергия носителей может быть меньше энергии, требуемой для преодоления потенциальных барьеров. Для преодоления частицей потенциального барьера ее волновая функция и ее производная должны быть непрерыв­ными (в указанном перпендикулярном направлении), что сразу приводит нас к задаче о прохождении и отражении на границах раздела. Как мы увидим дальше, туннелирование через потен­циальный барьер приводит нас также к концепции отрицатель­ного дифференциального сопротивления на вольт-амперной характеристике, явлению, обнаруженному Эсаки в 1957 г. Через шестнадцать лет после этого, работая в известной фирме ИБМ, Эсаки (в соавторстве с Тцу) первым объявил о регистрации отрицательного дифференциального сопротивления в сверхре­шетках АlGаАs/GаАs вследствие резонансного туннелирования сквозь барьеры. Однако лишь в начале 80-х годов удалось изго­товить достаточно высококачественные гетеропереходы, чтобы их можно было применить в диодах и транзисторах резонанс­ным туннелированием.

Резонансное туннелирование

Резонансное туннелирование (РТ) сквозь двойной потенци­альный барьер является одним из явлений вертикального квантового переноса, уже нашедший широкое практическое применение в создании диодов и транзисторов. На рис. 6.6, а представлены схема­тические энергетические диаграммы наноструктуры с двойным барьером, изготовленной из нелегированного GаАs, покрытого с двух сторон слоями АlGaAs, а на рис. 6.6, б и 6.6, в представ­лена аналогичная структура, при приложении возрастающего по величине внешнего электрического поля. Резонансное туннелирование происходит при напряжении V₁ = 2Е/е, где Е совпадает с квантовым энергетическим уровнем Е₁. При этом уровень Ферми Е_F для металлического контакта слева совпада­ет с уровнем п = 1 ямы и коэффициент туннельного пропуска­ния приближается единице, в результате чего ток через струк­туру возрастает. Когда величина приложенного поля становится выше 2Е₁/е и уровень Е_F превышает Е₁, ток через структуру уменьшается, как показано на рис. 6.6, в. На рис. 6.6, г пред­ставлена схематически зависимость тока от напряжения (вольт-амперная характеристика) для такой структуры. Очевидно, что при дальнейшем возрастании напряжения V барьеры, которые приходится преодолевать электронам, становятся меньшими по величине, и ток через структуру должен вновь нарастать.

Рис. 6.6. Общая схема, описываемого в тексте, резонансного туннельного эффекта

Это качественное описание было подтверждено количественными данными экспериментов Эсаки и Тцу как для диодов, так и для сверхрешеток из квантовых гетероструктур, выращенных ме­тодом молекулярно-лучевой эпитаксии. Наиболее важной осо­бенностью получаемых вольт-амперных характеристик (типа представленной на рис. 6.6, г) является то, что после максиму­ма наклон кривой становится отрицательным, т. е. появляется область отрицательного дифференциального сопротивления. Для понимания характеристик пропускания двойного барь­ера удобно воспользоваться расчетами, относящимися к оди­ночным барьерам, для которых вероятность пропускания D(E) (иногда этот коэффициент называют просто прозрачностью ба­рьера) непрерывно возрастает с ростом энергии Е электронов в диапазоне энергий Е/е < V₀. Ситуация кардинально изменяет­ся в случае двойного барьера, когда сама функция D(E) приоб­ретает более сложный вид и представляет собой произведение двух величин, а именно D_E (для первого барьера или эмиттера) и D_F (для второго барьера или коллектора), что дает

D(E) = D_E D_C. (6.2)

При этом нас вновь будут интересовать лишь ситуация, ког­да Е меньше высоты барьеров. Для нахождения D(Е) можно воспользоваться так называемым методом обращения матриц, хорошо известным из учебников по квантовой механике и оп­тике. Метод связывает коэффициенты падающих и отражен­ных волновых функций от двух соседних барьеров при помощи матрицы 2x2, называемой матрицей переноса. Задача наиболее просто решается в случае идентичности барьеров. Коэффици­ент пропускания такой двухбарьерной структуры определяется соотношением

, (6.3)

где величины D₀ и R₀ представляют собой коэффициенты про­пускания и отражения для одиночного барьера, а — толщина ямы, параметр k является волновым числом электрона для вол­новой функции внутри ямы, а  — фазовый угол.

На рис. 6.7 представлена зависимость D(Е) от Е для некото­рой структуры с резонансным туннелированием (RТ-структуры), описываемой тремя энергетическими уровнями в кванто­вой яме. Отметим, что коэффициент пропускания становится равным единице при трех значениях энергии, совпадающих с энергией каждого из уровней, т. е. когда энергия падающего электрона точно равна энергии одного из уровней. При этом ширина резонансного пика возрастает с энергией, что может быть качественно объяснено на основе принципа неопределен­ности Гейзенберга (в соответствии с этим принципом величина Е должна быть обратно пропорциональна времени жизни т состояний внутри ямы). Туннелирование электронов на более высоких уровнях проходит через более низкие барьеры, вследс­твие чего им и соответствуют меньшие значения .

Влияние поперечных электрических полей на свойства сверхрешеток

Ранее уже указывалось, что электронные состояния в сверх­решетках образуют электронные зоны или подзоны, которые гораздо уже, чем соответствующие зоны в обычных кристаллах. Малая ширина зон и энергетических щелей является следствием того, что период сверхрешетки d обычно много больше постоянной а решетки кристалла.

Ниже будет показано, что при воздействии электрических полей электроны в таких узких зонах проявляют необычные свойства, демонстрируя существование некоторых физических эффектов (типа осцилляции Блоха), которые были, кстати, те­оретически предсказаны еще десятки лет назад. Кроме того, выяснилось, что под воздействием поля энергетические уров­ни ямы (шириной а) в сверхрешетке образуют так называемую штарковскую лестницу из «ступеней» высотой еFа, где F — при­ложенное электрическое поле.

D(E)

Рис. 6.7. (а) Схема преодоления электроном с энергией E двойного ре­зонансного барьера. Квантовая яма имеет три энергетических уровня (Е1, Е2 и Е3); (б) зависимость коэффициента пропуска­ния от энергии падающего электрона.

Рассмотрим электронную зону в k-пространстве, по­казанную на рис. 6.8, которая похожа на первую подзону в сверхрешетке. Поле F прилагается в задан­ном направлении (мы обозначим его осью z, считая его на­правленным перпендикулярно к плоскости расположения квантовых ям), так что рассматриваемая задача сводится к одномерной. Движение электрона в такой зоне под влия­нием электрического поля описывается введенным в главе 2 уравнением (2.57)

, (6.4)

решением которого в случае постоянного поля является значе­ние волнового числа в виде

. (6.5)

В соответствии с решением (6.5) волновой вектор должен возрастать линейно по времени. Будем считать, что электрон первоначально покоился в точке О начала координатной оси, как показано на рис. 6.8, а направление электрического поля противоположно направлению вектора k. При этом электрон начинает двигаться из точки О по направлению к точке А, и это движение продолжается до тех пор, пока он не достигнет точки В, соответствующей границе зоны Бриллюэна (k = /d). В точке В его скорость уменьшается до нуля, в соответствии с нулевым углом наклона кривой, как следует из уравнения (2.52). После этого электрон переносится в точку С (по вектору обратной ре­шетки G), которой соответствует значение волнового вектора k = -/d, что просто означает результат брэгговского отраже­ния. Из точки С электрон в k-пространстве под воздействием поля смещается через точку В в точку О, за­вершая тем самым цикл движения. Скорость электрона при та­ком периодическом движении определяется уравнением

(6.6)

и также меняется периодически, если энергия зоны имеет вид, представленный на рис. 6.8. Иными словами, движение элек­трона является периодическим одновременно и в реальном, и в k-пространстве.

Период таких колебаний в k-пространстве Т_B определяется временем, необходимым для «прохождения» зоны Бриллюэна (= 2/d) и равен

. (6.7)

Рис. 6.8. Движение электрона внутри энергетической зоны в k-пространстве под воздействием приложенного электрического поля (процессы рассеяния не учитываются)

Следует отметить, что величины T_В и _B зависят лишь от пе­риодичности сверхрешетки и напряженности приложенного поля, однако совершенно не зависят от ширины энергетической подзоны. Представляется очевидным, что для экспериментального наблю­дения блоховских осцилляции необходимо, чтобы период Т_В был меньше времени релаксации, связанного с процессами рассеяния. Ранее блоховские осцилляции экспериментально не могли быть зарегистрированы в объемных кристаллах в силу того, что харак­терные значения Т_B (~10^-11 с) значительно превышали соответству­ющие значения в сверхрешетках, поскольку величина d обычно на два порядка превосходит стандартные значения постоянной решет­ки в привычных полупроводниковых кристаллах. Эти ограничения приводили к тому, что электроны, расположенные близко к точ­ке О на диаграмме рис. 6.8, просто не могли получить достаточ­но энергии для достижения точки В на границе зоны Бриллюэна (k = /d), так как волновой вектор, определяемый уравнением (6.5), не мог возрастать до требуемого значения из-за процессов рассеяния, «отбрасывающих» электроны назад к точке О. С другой сто­роны, следует заметить, что в практических экспериментах значе­ние Т_B нельзя уменьшить просто за счет усиления напряженности прилагаемого поля F, поскольку при таком усилении возникает так называемое зеннеровское туннелирование (при котором электроны из наклонной подзоны, как показано на рис. 6.9, б, могут туннелировать через запрещенную зону в соседнюю подзону), в результате чего блоховские осцилляции вообще не возникают. Таким образом, для регистрации блоховских осцилляции необходимо иметь очень узкие подзоны и, наоборот, широкие мини-щели.

На рис. 6.9, а схематически приведена энергетическая струк­тура всего лишь двух подзон в сверхрешетке. При наложенном постоянном по величине электрическом поле F (направленном по оси z) зоны «наклоняются» под углом — еF, в результате чего выражение для потенциальной энергии приобретает вид

E(z) = E₀ – eFz, (6.8)

где Е₀ — энергия исходного состояния.

Рис. 6.9. (а) Подзоны в сверхрешетке; (б) наклон подзон в сверхрешетке под воздействием приложенного электрического поля

Вследствие показанного на рис. 6.9, б наклона зон электрон с полной энергией Е_Т может колебаться в пространстве между положениями с координатами z₁ и z₂. При возрастании значе­ния F наклон зон увеличивается, вследствие чего электрон про­странственно локализируется в меньшем объеме. Очевидно, что при очень высоких напряжениях приложенного поля электрон может быть локализирован в пределах одной квантовой ямы, для чего требуется, чтобы разность энергетических уровней Е в двух соседних ямах превышала ширину подзон , т. е. должно выполняться условие Е = еFD >. При этом квантовые ямы могут считаться несвязанными (рис. 6.10, а). Таким образом, при значениях электрического поля больше /еd электроны ло­кализуются в квантовых ямах, чьи собственные энергетические состояния существенно различаются, в результате чего поня­тие подзон становится неприменимым. Вместо этого в систе­мах возникают новые структуры квантовых энергетических состояний, получившие название штарковских лестниц.

Рис. 6.10. (а) При наложении сильных электрических полей спектр подзон сверхрешетки разрушается, и на его месте возникает система, которую можно рассматривать в качестве множест­венных квантовых ям (MQW) с разностью энергий = eFd (б) вольт-амперная характеристика (I – V) сверхрешетки.

Такая штарковская локализация в сверхрешетках типа АlGaAs/GаАs была впервые зарегистрирована в эксперименте Мендесом, а затем нашла широкое применение в разнообразных электро­оптических приборах.

Подобно диодам с резонансным туннелированием, сверхре­шетки также имеют участки с отрицательным дифференциаль­ным сопротивлением (NDR) на вольт-амперных характеристи­ках, что может быть использовано в целом ряде электронных приборов. Такие участки возникают в наноструктурах при на­ложении настолько сильных электрических полей, что энергия соседних квантовых ям начинает различаться на величину, сравнимую с произведением eFd. В разделе 6.3.1 было показано, что резонансное туннелирование происходит при условии

Е₂ – Е₁,= еFd, (6.9)

где Е₁ и Е₂ означают энергии уровней при наложенном поле F, которые не должны обязательно совпадать с значениями при отсутствии поля (F=0). Как показано на рис. 6.10, б, область проявления эффекта отрицательного дифференциального со­противления (NDR) располагается на вольт-амперной харак­теристике сверхрешетки сразу после резонансного пика, что позволяет использовать такие структуры, подобно диодам с ре­зонансным туннелированием, в качестве высокочастотных ос­цилляторов и усилителей.

Квантовый перенос в наноструктурах

Рассмотрим далее процессы квантового переноса, происходя­щие при протекании через наноструктуры тока от присоеди­ненных к ним внешних источников. Такие процессы можно также назвать мезоскопическим переносом, исходя из предло­женного в разделе 1.3 термина «мезоскопический», относяще­гося к системам, промежуточным между макроскопическими и микроскопическими (или атомарными, которые описывают­ся квантовой механикой). В электронике или, точнее, в микроэлектронике такие системы известны как приборы с размерами в субмикронном или нанометровом диапазоне. Очень интерес­ным явлением, проявляющимся при мезоскопическом перено­се, является квантование проводимости в единицах 2е²/h. Другое не менее интересное явление называется кулоновской блокадой и может наблюдаться в очень малых наноструктурах (типа квантовых точек).

Для наблюдения квантовых эффектов в полупроводниковых наноструктурах должен быть удовлетворен ряд условий. Из на­иболее общих требований стоит отметить, прежде всего, то, что при заданной температуре квантовый перенос сильнее проявля­ется в тех наноструктурах, эффективная масса электрона в кото­рых меньше, поскольку это обычно подразумевает и более высо­кую подвижность. Кроме того, уменьшение эффективной массы способствует повышению энер­гетических уровней электрона в квантовой яме. В целом можно утверждать, что, чем меньше эффективная масса, тем при более высокой температуре может наблюдаться квантовый перенос.

Перенос в мезоскопических системах обычно происходит в баллистическом режиме, так как их размеры обычно меньше, чем средний свободный пробег электронов, ко­торый в гетероструктурах АlGаАs/GаАs при низких температу­рах обычно составляет несколько микрон. Помимо отсутствия процессов рассеяния, баллистический перенос отличается еще и тем, что при нем электроны не теряют фазовую когерентность, поскольку не участвуют в неупругих столкновениях. Благодаря этой особенности электроны в мезоскопических системах могут демонстрировать фазовые интерференционные эффекты.

Квантовая проводимость. Формула Ландауэра.

Для самого простого описания эффектов квантовой проводи­мости удобно рассмотреть одномерную мезоскопическую по­лупроводниковую структуру, типа квантовой проволоки. Если такая проволока является достаточно короткой (т. е. ее длина меньше среднего свободного пробега электрона в рассматрива­емом веществе), то движение электронов будет происходить без рассеяния, и перенос будет носить баллистический характер. Предположим, что, как показано на рис. 6.11, такая кванто­вая проволока идеальными контактами (т. е. такими, в кото­рых полностью отсутствуют процессы рассеяния) соединена с двумя резервуарами, характеризующимися уровнями Ферми Е_F1 и Е_F2, между которыми приложено слабое напряжение V для обеспечения протекания тока через проволоку. В результате между резервуарами возникает разность потенциалов еV, рав­ная (Е_F1 - Е_F2).

Рис. 6.11. Схематическое представление одномерной мезоскопической системы, используемое для вывода формулы Ландауэра.

Величина протекающего при этом по проволоке тока I равна произведению концентрации электронов (которую можно определить по функции плотности состояний п_1D(Е) в интервале энергий еV) на скорость электронов v(Е) и единич­ный заряд:

I = eп_1D(Е)v(E)eV. (6.10)

Подставляя в это выражение формулу (4.21) для плотности состояний п_1D(Е) (из формулы выбрасывается только коэффи­циент 2, поскольку в рассматриваемой системе электроны могут двигаться лишь в одном направлении), можно легко получить для тока выражение

, (6.11)

которое, что довольно интересно, оказывается не зависящим от скорости носителей. Проводимость G≡ (I/V) при этом равна

. (6.12)

Стоит отметить также, что (в отличие от классической про­водимости, обратно пропорциональной длине проводника) проводимость квантовой проволоки вообще никак не зависит от ее длины. Отношение

(6.13)

называется квантовой единицей проводимости, а соответствую­щее обратное отношение

k (6.14)

называется квантовым сопротивлением и может быть измере­но экспериментально. Поскольку отношение 2е²/h используется в теории очень часто, его иногда называют также фундамен­тальной проводимостью.

Все приведенные формулы для квантовой проводимости и сопротивления были получены на основе чрезвычайно прос­той, одномерной мезоскопической модели, однако сам факт квантования классических физических параметров (типа про­водимости и сопротивления) в физике мезоскопических сис­тем имеет фундаментальное значение. Для рассмотрения более сложных систем мы постараемся обобщить полученные резуль­таты. Один из вариантов такого обобщения, предложенный в следующем разделе, состоит в использовании наноструктур с большим числом соединений (а не двух, как в случае одно­мерной системы). Еще вариант обобщения результатов связан с учетом энергетических подзон в рассматриваемых низко­размерных полупроводниках. Если концентрация электронов или их энергия достаточно велики, в перенос могут вовлекаться электроны подзон, лежащих выше первого уровня квантования.

Для квантовых проволок такие подзоны (каналы, по термино­логии квантового переноса) возникают из поперечных состояний. Предполагая наличие нескольких каналов, можно представить, что электроны могут инжектироваться из контактов в любой канал (или моду) т, поступать в мезоскопическую струк­туру, а затем, после взаимодействия с рассеивающим центром, возникать в другом канале — п. Такие электроны будут вносить свой вклад в полную или общую проводимость системы, равный произведению кванта проводимости 2е²/h на квантово-мехническую вероятность перехода |t_mn|², соответствующую инжекции электронов в канал т и их переходу в другой канал п (отметим, что в такой формулировке вероятность перехода выражается через амплитуды или вероятности пропускания t_mn волновых функций электрона). Полная проводимость в этом случае может быть полу­чена суммированием процессов по всем каналам, т. е.

, (6.15)

где N — полное число каналов, участвующих в рассматрива­емых процессах проводимости. Уравнение (6.15), называемое формулой Ландауэра, может рассматриваться как обобщение уравнения (6.12) для мезоскопической системы с двумя контак­тами и большим числом каналов.

При изучении процессов квантового переноса часто исполь­зуются наноструктуры, состоящие из сужений внутри двумерной системы. В качестве примера можно привести показанную на рис. 6.12 структуру, в которой движение электронов в двумерной гетероструктуре управляется расщепленным затвором. Исполь­зование электрода с такой специальной формой позволяет при приложении напряжения вследствие формируемого распределе­ния потенциала ограничить движение электронов в плоскости двумерной системы и заставить их двигаться в очень малой ква­зиодномерной области. Такие структуры называют квантовым точечным контактом (QРС) или даже электронным волноводом, по аналогии с привычными волноводами в радиофизике.

На рис. 6.12 представлены результаты первого эксперимента по обнаружению квантовой проводимости, проведенного Визом и другими в 1988 г. на квантовом точечном контакте (форма которого приведена на врезке), образованном в квантовой гете­роструктуре АlGаАs/GаАs. Легко заметить, что с ростом прило­женного напряжения экспериментально измеренная квантовая проводимость меняется скачками (квантуется) с шагом, равным упомянутой выше фундаментальной проводимости 2е²/h. Кванто­вание явно следует из уравнения (6.15), в котором коэффициенты пропускания приближаются к единице вследствие очень низких скоростей процессов рассеяния, что заведомо справедливо для квантовых точечных контактов. При этом экспериментальное на­блюдение горизонтальных участков вольт-амперной характеристики представляет собой часто сложную задачу, так как эта ломаная линия «сглаживается» в результате многих побочных процессов: влияния неупругого рассеяния, конечного сопротивления кон­тактов, наличия примесных атомов, шероховатости поверхности и т. д.

Рис. 6.12. Зависимость квантовой проводимости от напряжения на управляющем электроде (форма которого приведена на врезке) при 0,6 К для квантовых точечных контактов, создаваемых в гетероструктуре АlGаАs/GаАs.

В результате указанных факторов неточность определения экспериментально измеряемых значений ступенек на кривой про­водимости может достигать нескольких процентов, что и показано на рисунке. С другой стороны при наложении сильных магнитных полей, в силу столь же объективных причин, точность измерения высоты сту­пенек на кривой проводимости повышается на несколько поряд­ков и возрастает до 10⁶ раз! Именно по этой причине квантовый эффект Холла, находит множество применений в метрологии и технике точных измерений.

Формула Ландауэра — Бюттикера для квантового переноса в многозондовых структурах

Полученное в предыдущем разделе выражение (6.15), описыва­ющее квантовый перенос в наноструктуре с двумя контактами, может быть обобщено на случай систем с большим числом кон­тактов. Рассмотрим, например, наноструктуру типа представлен­ной на рис. 6.13, похожую на те, которые часто используются в различных экспериментах, связанных с квантовым эффектом Холла, с двумя токовыми контактами, соединенные с соответствующими резервуарами и несколькими потенциаль­ными контактами. Резервуары в данном случае выступают в ка­честве бесконечных источников и стоков для электронов, причем их температура остается постоянной, даже когда они поставляют электроны в наноструктуру или поглощают их. Мы можем, как и выше, вычислить зависимость тока в каждом подводящем про­воде i, соединенном с резервуаром _i, предполагая, что каждому из контактов соответствует лишь один канал. Аналогично мы можем построить матрицу рассеяния или прохождения из коэф­фициентов пропускания Т_ij, относящихся ко всем комбинациями индексов i и j. Поскольку электроны, попадающие в структуру от любого контакта, могут отражаться, мы должны ввести со­ответствующие коэффициенты отражения R_i. Кроме этого, для нахождения величины тока I_i (в контакте 1) мы должны учиты­вать и следующие факторы: 1) величину тока, инжектированного через контакт I из резервуара _i, равную произведению (2е/h)_i; 2) частичное отражение тока обратно в контакт, описываемое ко­эффициентом отражения R_i; 3) все токи, поступающие в данный контакт i от других контактов. Сумма таких вкладов, с учетом знака, позволяет записать для тока I_i (в контакте i) выражение

, (6.16)

где через V_i обозначено напряжение, соответствующее _i, т.е. _i = е V_i. При этом следует отметить, что использованное выше обозначение V_i определяется относительно общего напряжения V₀=₀/e, где ₀ соответствует низшему уровню распределения Ферми в резервуарах, ниже которого все энергетические состояния заполнены и поэтому не могут никак участвовать в про­цессах переноса носителей заряда.

Очевидно, что при близких к T = 0 К температурах величина ₀ должна совпадать с мини­мальным из значений уровней Ферми для всех _i.

Рис. 6.13. Диаграмма типичной наноструктуры, используемой в экспе­риментальных измерениях, связанных с квантовым эффек­том Холла.

Приведенное уравнение получено для контактов с одним ка­налом. Многозондовое обобщение предполагает, что в каждом контакте i существует N_i каналов распространения, вследствие чего мы должны ввести обобщенные коэффициенты пропускания T_ij,, соответствующие вероятности носителя в контакте j и канале  перейти в контакт i канала . Аналогично должны быть введены и обобщенные коэффициенты отражения R _i, соответствующие вероятности отражения носителя из канала  в канал  для одного и того же контакта i. Учитывая полные вклады в ток через контакт i, можно получить выражение

, (6.17)

где V_i - напряжение на резервуаре i, а Т_ij и R_i - приведенные коэф­фициенты пропускания и отражения, определяемые уравнениями

и . (6.18)

Уравнение (6.17) называется формулой Ландауэра-Бюттикера квантового переноса в многозондовых системах.

1)¹⁾ n_i – является дискретным квантовым числом только в области энергий, соответствующих связанным состояниям, когда движение носителей заряда финитно.

68