Расчет погрешностей типовых задач

Задача № 1

Обработать ряд результатов наблюдений X_i, представленных в таблице 1, полученный по результатам многократных прямых измерений напряжения на сопротивлении нагрузки фотодиода с помощью вольтметра. Число наблюдений при прямых измерениях п = 10. Оценить случайную по­грешность измерения. Доверительную вероятность принять Р_Д = 0.95. Запи­сать результат измерения по установленной форме.

Таблица 1

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Xi	1.157	1.153	1.158	1.155	1.156	1.155	1.158	1.157	1.154	1.160

Решение

Вычисляем среднее арифметическое результатов наблюдений:

Определяем случайные отклонения результатов отдельных наблюдений:

.

Результаты промежуточных расчетов заносим в таблицу 2.

Таблица 2

i	1	2	3	4	5	4	6	7	8	9
Vi	0,096	0,138	0,160	-0,123	-0,141	-0,123	0,014	0,193	0,237	0,088
V	9,21610-3	19,04410-3	25,60010-3	15,12910-3	19,88110-3	15,12910-3	0,19610-3	37,24910-3	56,16910-3	87,74410-3

Вычисляем оценку среднеквадратического отклонения результатов на­блюдений:

Поверяем наличие грубых погрешностей с помощью критерия "трех сигм":

.

Как видно из таблицы 2, грубые погрешности отсутствуют.

Определяем оценку среднеквадратического отклонения результата из­мерения:

По заданной доверительной вероятности Р_Д и числу степеней свободы (п-1) распределения Стьюдента находим коэффициент t из таблицы 1, пред­ставленной в Приложении 1. Для нашей задачи (Р_Д = 0,95 и (п - 1) = 14) зна­чение t = 2,145. Рассчитываем доверительные границы случайной погрешно­сти результата измерения:

Записываем результат измерения:

R = (25,635 ± 0,077) кОм, Р_д = 0,95.

Задача № 2

Мощность постоянного тока Р измерялась косвенным методом путем многократных измерений напряжения U и тока I с учетом зависимости Р = UI. Напряжение U и ток I, результаты наблюдений которых представле­ны в таблице 3, подвергались прямым измерениям п = 9 раз. Частные по­грешности некоррелированы. Определить случайную погрешность результа­та косвенного измерения с доверительной вероятностью Р_Д = 0,95 и записать результат измерения по установленной форме.

Таблица 3

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9
U, B	19,2	19,8	19,7	19,6	19,9	19,4	19,5	19,1	19,3
I, мА	2,731	2,746	2,753	2,762	2,751	2,749	2,743	2,739	2,732

Решение

Вычисляем средние арифметические значения величин U и I:

,

Находим значение результата косвенного измерения мощности:

= 53,526 мВт.

Вычисляем оценки среднеквадратических отклонений величин U и I:

Определяем частные случайные погрешности косвенного измерения:

Вычисляем оценку среднеквадратического отклонения результата кос­венного измерения:

Определяем значение коэффициента Стьюдента t для заданной довери­тельной вероятности Р_Д = 0,95 и числа наблюдений п = 9. Так как п < 30, то предварительно определяем "эффективное" число степеней свободы распре­деления Стьюдента:

где

Поскольку значение п_э получили дробное, для нахождения коэффициен­та Стьюдента применяем линейную интерполяцию. Для решаемой задачи при п_э = 9,23 и Р_Д = 0,95 из таблицы 1, представленной в Приложении 1, на­ходим п₁ = 10, t₁ = 2,251, п₂ = 11, t₂ = 2,228, а затем вычисляем значение t:

Вычисляем доверительные границы случайной погрешности результата косвенного измерения:

Записываем результат измерения:

Р = (53,53 ± 0,58) мВт, Р_Д = 0,95.

Стенд для измерения яркостно-токовой характеристики светодиодов