2. Положительные ряды.

Для исследования сходимости положительных рядов (т.е. рядов с неотрицательными членами: un) применяют достаточные признаки сходимости рядов. Среди них наиболее часто используют признаки сравнения, Даламбера, радикальный и интегральный признаки Коши

( Табл. 1).

Пример 2. Исследовать сходимость ряда

Решение. Применим первый признак сравнения. В качестве «эталонного» ряда возьмем обобщенный гармонический ряд

П оказатель степени гармонического ряда p=4/5, поэтому «эталонный» ряд расходящийся. Члены исходного ряда для всех n превосходят соответствующие члены «эталонного» ряда:

Применяя первый признак сравнения, получаем, поскольку расходится «меньший» эталонный ряд, то расходится и «больший» исходный ряд.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда

Р ешение. Преобразуем общий член исходного ряда

Исходный ряд сравним с “эталонным” рядом

Э то “геометрический ряд, он сходится, т.к. знаменатель прогрессии q=2/3<1. Поскольку

к онечное число, отличное от 0, то в силу второго признака сравнения заключаем, что исходный ряд сходится.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда

Р ешение. Применим признак Даламбера. Записываем n-ый член ряда: .

(n+1)-ый член получим, если в выражении un везде n заменим на (n+1):

Н айдем предел отношения:

Пример 5. Исследовать сходимость ряда

Р ешение. Здесь удобно применить радикальный признак Коши:

Следовательно, ряд сходится. Подчеркнем, здесь использовали известный « второй замечательный» предел

Пример 6. Исследовать сходимость ряда

Р ешение. Рассмотрим функцию

Она при x2 положительная, непрерывная и монотонно убывает. (Заметим, что эта функция получается из выражения общего члена ряда при замене n на x). Можно применять интегральный признак. Исследуем сходимость несобственного интеграла:

И з интегрального признака заключаем, поскольку несобственный интеграл сходится, то сходится и исследуемый ряд.

3. Знакочередующиеся ряды.

Ряд, составленный из положительных и отрицательных членов (знакопеременный ряд) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов. Если же знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится, тогда знакопеременный ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся.

Рассмотрим далее числовые ряды, любые два соседние члены которых имеют противоположные знаки (знакочередующиеся ряды):

И сследование сходимости знакочередующихся рядов можно начинать с проверки абсолютной сходимости. Если ряд, составленный из абсолютных величин, сходится, то и сам знакопеременный ряд сходится. Если же окажется, что данный знакочередующийся ряд не обладает абсолютной сходимостью, то исследование продолжают с помощью признака Лейбница:

Теорема Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной величине и стремятся к нулю при n  , то ряд сходится. Его сумма имеет знак первого члена, абсолютное значение этой суммы не превышает абсолютное значение первого из членов.

Важное значение имеет следствие из теоремы Лейбница: для сходящегося знакочередующегося ряда абсолютная ошибка приближенного равенства S  Sn (абсолютная величина остатка ряда) не превосходит модуль первого из отброшенных членов:

Пример 7. Исследовать сходимость ряда

Р ешение. Данный ряд знакочередующийся, т.к.

И сходный ряд можно переписать в виде

Рассмотрим сначала ряд , составленный из абсолютных величин исходного ряда:

С равним его с гармоническим рядом 1+1/2+1/3+…+1/n+…, о котором известно, что он расходится. Так как

то по второму признаку сравнения заключаем, что ряд из модулей расходится и, следовательно, исходный ряд абсолютно не сходится. Продолжим исследование с помощью признака Лейбница: члены исходного ряда удовлетворяют условиям 1) монотонного убывания абсолютных величин членов ряда; 2) общий член ряда стремится к нулю. В самом деле, в промежутке [0, /2] функция y = tg x монотонно возрастает, а при n = 1, 2, … выполняются неравенства

О кончательно заключаем, исходный ряд сходится условно.