22. Ранговые коэффициенты корреляции Спирмена и Кендалла.

Оценивание парных ранговых связей.  Ранговый коэффициент корреляции Спирмэна

Для измерения степени тесноты парной статистической связи между ранжировками К.Спирмэн в 1904 г. предложил показатель, который впоследствии получил название рангового коэффициента корреляции Спирмэна /2, 4, 12/

(85)

где R_i^(k) и R_i^(j) – i-е ранги соответственно параметров k и j. Выражение (85) справедливо при отсутствии в ранжировках групп объединенных рангов. Если такие группы есть, то   определяется из выражения

(86)

где Т^(k) и Т^(j) – поправочные коэффициенты, которые могут быть найдены из

(87)

n_i^(k) – количество элементов в группе неразличимых рангов, а m(k) – число групп неразличимых рангов. Нетрудно убедиться, что при совпадающих ранжировках R^(k)_i = R^(j)_i   а при противоположных   Во всех прочих случаях   Если  связь между компонентами отсутствует. Кроме того, очевидно, что ранговый коэффициент корреляции обладает свойством симметрии, т.е.  .

Пример:

Исследование зависимости между среднемесячными доходами на семью (в тыс. руб.) и расходами на покупку кондитерских изделий (в руб.) представлено таблицей.

Зависимость расходов семьи на покупку кондитерских изделий от среднемесячных доходов

Доходы семьи (в тыс. руб.) U	4.8	3.8	5.4	4.2	3.4	4.6	3.4	4.8	5.0	3.8	5.2	4.0	3.8	4.6	4.4
Расходы на кондитерские изделия (в руб.), V	75	68	78	71	64	73	66	75	75	65	77	69	67	72	70

Вычислим степень тесноты парной связи между доходами семьи и расходами на приобретение кондитерских изделий с помощью рангового коэффициента корреляции Спирмэна. Составим вариационные ряды для U и V и расставим ранги.

Вариационный ряд для параметра U

U	3,4	3,4	3,8	3,8	3,8	4,0	4,2	4,4	4,6	4,6	4,8	4,8	5,0	5,2	5,4
Ri(U)	1	1	2	2	2	3	4	5	6	6	7	7	8	9	10

Вариационный ряд для параметра V

V	64	65	66	67	68	69	70	71	72	73	75	75	75	77	78
Ri(V)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	11	11	12	13

В следующей таблице представлены ранжировки в соответствии с первоначальным положением элементов в исходной двумерной совокупности.

Ранжировки для параметров U и V

Ri (U)	7	2	10	4	1	6	1	7	8	2	9	3	2	6	5
Ri(V)	11	5	13	8	1	10	3	11	11	2	12	6	4	9	7

Поскольку в ранжировках есть группы объединенных рангов, то для вычисления  необходимо воспользоваться выражениями (86) и (87). Для ранжировки R_i^(U) m(U) = 4, n₁^(U)= 2, n₂^(U) = 3, n₃^(U) = 2, n₄^(U) = 2.  Для ранжировки R_i^(V) m(V) = 1, n₁^(V)= 3. Проведем вычисления

Т^(U) = 1/12 [ ( 8 - 2 ) + ( 27 - 3 ) + ( 8 - 2 ) + ( 8 - 2 ) ] = 3.5, Т^(V) = 1/12 ( 27 - 3 ) = 2,

Следовательно можно предположить, что между доходами семьи и расходами на покупку кондитерских изделий существует сильная положительная связь.

Ранговый коэффициент корреляции Кендалла

Другим измерителем степени тесноты статистической связи между двумя ранжировками является ранговый коэффициент корреляции Кендалла /2, 4, 12/, определяемый выражением

(88)

где (R_i^(k), R_i^(j)) – минимальное число обменов последовательности R_i^(j), необходимое для приведения ее к упорядочению, аналогичному R_i^(k). Очевидно, что (R_i^(k), R_i^(j) ) симметрична относительно своих аргументов. При совпадающих ранжировках R_i^(k) и R_i^(j) обменов не будет, следовательно (R_i^(k), R_i^(j)) = 0 и  . Во всех других случаях для  выполняется условие  . Выражение (88) справедливо при отсутствии в ранжировках групп объединенных рангов. В противном случае необходимо воспользоваться формулой

(89)

где   – оценка парного рангового коэффициента корреляции из выражения (88). Поправочные коэффициенты Т^(k) и Т^(j) определяются из выражения

(90)

где m(k) – количество групп объединенных рангов, n_i^(k) – количество элементов в группе. Свойства парного рангового коэффициента корреляции Кендалла аналогичны коэффициенту корреляции Спирмэна. Необходимо заметить /2, 4, 12/, что вычисление   является более трудоемким, чем  . Статистические свойства рангового коэффициента корреляции Кендалла более исследованы. Кроме того, он обладает большими удобствами при его пересчете, если к n статистическим объектам добавляются новые. Между масштабами шкал, в которых измеряют  и  , нет простого соотношения. Но при умеренно больших n (n  10) и при условии, что абсолютные величины значений этих коэффициентов не слишком близки к единице, для них справедливо соотношение

Проверка статистически значимого отличия от нуля ранговых корреляционных характеристик может быть осуществлена при не слишком малых n (n  10) при заданном уровне значимости. Данный вопрос рассмотрен в /2, с.114/. Там же рассмотрена методика построения доверительных интервалов для  и   /2, с.116/.

ПРИМЕР:

Исследование зависимости между среднемесячными доходами на семью (в тыс. руб.) и расходами на покупку кондитерских изделий (в руб.) представлено таблицей.

Зависимость расходов семьи на покупку кондитерских  изделий от среднемесячных доходов

Доходы семьи (в тыс. руб.) U	4.8	3.8	5.4	4.2	3.4	4.6	3.4	4.8	5.0	3.8	5.2	4.0	3.8	4.6	4.4
Расходы на кондитерские изделия (в руб.), V	75	68	78	71	64	73	66	75	75	65	77	69	67	72	70

Вычислим парную ранговую связь между доходами семьи и расходами на кондитерские изделия с помощью коэффициента корреляции Кендалла. Воспользуемся ранжировками, полученными в предыдущем примере для вычисления (R_i^(U), R_i^(V)). Для этого ранжировку R_i^(U) сформируем в порядке возрастания, а R_i^(V) – в соответствии с ранжировкой R_i^(U). Данные сведем в таблицу.

Ранжировки U и V

Ri (U)	1	1	2	2	2	3	4	5	6	6	7	7	8	9	10
Ri (V)	1	3	5	2	4	6	8	7	10	9	11	11	11	12	13

Вычисление (R_i ^(U), R_i ^(V) ) осуществляем следующим образом. Сравниваем во второй ранжировке последовательно каждый элемент, начиная с первого, со всеми последующими. Если предыдущий элемент больше последующего, то необходим обмен между этими элементами и, следовательно, _i,j= 1. В противном случае _i,j= 0. Индексы i,j означают соответственно порядковые номера сравниваемых рангов в ранжировке R_i^(V). Анализ степени согласованности двух ранжировок дает следующие результаты (см. предыдущую таблицу). _1,2 = _1,3 =_1,4 = … = _1,15 = 0, _2,3 = _2,5 = _2,6 = _2,7 = … = _2,15 = 0, _2,4 = 1, _3,4 = _3,5 = 1,  _3,6 = _3,7 = … = _3,15 = 0,  _4,5 = _4,6 = … =  _4,15 = 0, _5,6 =  _5,7 = … = _5,15 = 0, _6,7 = _6,8 = … =  _6,15 = 0, _7,8 = 1, _7,9 = _7,10 = … =  _7,15 = 0, _8,9 = _8,10 = … = _8,15 = 0,  _9,10 = 1, _9,11= _9,12 = … =  _9,15 = 0,  _10,11 = … = _10,15 = 0, _11,12 = … = _11,15 = 0,  _12,13 = _12,14 = _12,15 = 0,  _13,14 =  _13,15 = 0,  _14,15 = 0. Следовательно, (R^(U)_i, R^(V)_i) = 5. Тогда из (88) найдем

Поправочные коэффициенты из (90) равны

Получим   из (89)