14. Непрерывность функции двух переменных. Частные производные. Производные высших порядков

Определение. Число называется пределом функции в точке , если такое, что для тех пар чисел (из области определения и отличных от ), которые удовлетворяют неравенствам , выполняется неравенство . Обозначают это так: . Все положения теории пределов функции одной переменной легко переносятся без существенных изменений на функции нескольких переменных. Определение. Пусть определена в точке и в некоторой ее окрестности. Если , то функция называется непрерывной в точке . Подчеркнем, что предел не зависит от того, каким образом точка стремится к точке . Обозначим . Полным приращением функции при переходе от точки к точке называется разность , то есть . Для непрерывной функции при . Очевидно, что из непрерывности функции двух переменных в точке следует непрерывность функции одной переменной при и при . Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Если в какой-либо точке плоскости для нарушается условие , то функция имеет разрыв в этой точке.

Частные производные

Пусть  -- внутренняя точка области , и в области задана функция . Рассмотрим ограничение функции на прямую , проходящую через точку параллельно оси . Эта прямая задаётся условиями при ; переменная может при этом произвольно меняться. Поэтому для рассматриваемого ограничения имеется естественная параметризация, смысл которой в том, что "замораживаются" все переменные, от которых зависит , кроме :

Получили функцию одного переменного , как параметризацию ограничения с помощью параметра .

Рис.7.12.

Функция может иметь производную в точке , равную некоторому числу . Это число называют частной производной функции по переменной , вычисленной в точке . Эта частная производная обозначается или .

Сразу же заметим, что значения частных производных от функции в точке , вычисленные по разным переменным и , могут быть различными, так что обозначение типа , без указания переменной, по которой вычислена частная производная, не имеет смысла: в обозначении обязательно нужно указывать переменную, по которой мы дифференцируем.

Итак, чтобы вычислить частную производную от функции по некоторой переменной , нужно фиксировать значения всех переменных, кроме (то есть временно считать их постоянными), а затем по обычным правилам вычисления производных найти производную по этой единственной переменной . Теперь ясно, что для вычисления частных производных никаких новых правил дифференцирования вдобавок к тем, что известны нам для функций одной переменной, не потребуется, ведь при вычислении частной производной мы считаем, что может изменяться только одна переменная.

Считая точку , в которой вычисляется значение частной производной , переменной точкой области и предполагая, что во всех точках эта производная существует, мы получаем, что частная производная  -- это функция, заданная в области (или в её части, если производная существует не везде в ).

Поскольку частную производную функции можно вычислять по каждой из переменных , то функция имеет частных производных

Эти частные производные, вообще говоря, -- различные функции. Их называют также частными производными первого порядка от функции . Итак, функция переменных имеет частных производных первого порядка.

Производные высшего порядка явно заданной функции

Пусть функция y = f(x) имеет конечную производную f '(x) в некотором интервале (a, b), т.е. производная f '(x) также является функцией в этом интервале. Если эта функция дифференцируема, то мы можем найти вторую производную исходной функции f, которая обозначается в виде

Аналогично, если f ''  существует и дифференцируема, мы можем вычислить третью производную функции f:

Производные более высокого порядка (если они существуют) определяются как

Таким образом, понятие производной n-го порядка вводится индуктивно путем последовательного вычисления n производных, начиная с производной первого порядка. Переход к производной следующего, более высокого порядка производится с помощью рекуррентной формулы

В ряде случаев можно вывести общую формулу для производной произвольного n-го порядка без вычисления промежуточных производных. Некоторые такие примеры рассмотрены ниже. Отметим, что для нахождения производных высшего порядка можно использовать следующие линейные соотношения:

Производные высшего порядка неявно заданной функции

Производная n-го порядка неявно заданной функции находится последовательным (n раз) дифференцированием уравнения F(x, y) = 0. На каждом шаге, после соответствующих подстановок и преобразований, можно получить явное выражение для производной, зависящее лишь от переменных x, y, т.е. производные имеют вид

Производные высшего порядка функции, заданной параметрически

Рассмотрим функцию y = f(x), заданную параметрически с помощью двух уравнений

Первая производная данной функции выражается формулой

Дифференцируя еще раз по x, находим производную второго порядка:

Аналогично определяются производные третьего и более высокого порядка: