
- •1.Первообразная и неопределенный интеграл, их свойства.
- •2.Табличные интегралы. Метод внесения под знак дифференциала
- •3. Замена переменной. Интегралы от иррациональных функций
- •Интегралы от иррациональных функций
- •4. Метод интегрирования по частям
- •5. Интегрирование рациональных дробей
- •6. Интегрирование тригонометрических функций
- •7. Определенный интеграл, его геометрический смысл и свойства
- •8. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям и замена
- •9. Несобственные интегралы, их сходимость, признаки сравнения
- •Если интегралы ограничены в совокупности, откуда и следует сходимость интеграла
- •10. Вычисление площади плоской фигуры: в декартовой, полярной системах координат; для функций, заданных параметрически
- •11. Вычисление длины дуги плоской кривой
- •13. Функция многих переменных. Область определения. График, линии и поверхности уровня
- •14. Непрерывность функции двух переменных. Частные производные. Производные высших порядков
- •Частные производные
- •15. Дифференциал функции нескольких переменных и его применение в приближенных вычислениях и для оценки погрешностей Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- •16. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
- •17. Экстремум функции двух переменных. Необходимое и достаточное условия экстремума. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области.
- •18. Производная сложной функции. Дифференцирование неявной функции Производная сложной функции.
- •Дифференцирование неявных функций
- •19. Производная по направлению. Градиент
- •20. Двойной интеграл, его геометрический смысл и свойства
- •21. Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат
- •22. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат
- •23. Вычисление площадей и объемов с помощью двойного интеграла
- •24. Приложение двойного интеграла в механике
- •25. Криволинейный интеграл 1-го рода, его свойства и вычисление
- •26. Масса, моменты, центр тяжести плоской кривой
- •27. Криволинейный интеграл 2-го рода, его физический смысл, свойства, вычисление и приложения
- •28. Формула Грина
- •29. Условие независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования. Восстановление функции по полному дифференциалу
- •30. Числовые ряды. Сумма и сходимость числового ряда. Свойства сходящихся рядов. Ряд геометрической прогрессии
- •31. Необходимый признак сходимости числового ряда. Гармонический ряд
- •32. Признаки сравнения для рядов с положительными членами. Табличные ряды
- •37. Функциональные ряды, их область сходимости
- •38. Степенные ряды. Радиус и область сходимости степенного ряда
- •39. Ряды Тейлора и Маклорена. Нахождение коэффициентов ряда Маклорена
- •40. Разложение в ряд Маклорена функций
- •41. Применение рядов Маклорена для вычисления значений функций
- •42. Взятие неопределенных интегралов и вычисление определенных интегралов с помощью степенных рядов
28. Формула Грина
Пусть в плоскости Oxy задана область R, ограниченная замкнутой, кусочно-непрерывной и гладкой кривой C. Предположим, что в некоторой области, содержащей R, задана непрерывная векторная функция
с непрерывными частными производными
первого порядка
.
Тогда справедлива формула
Грина
где символ
указывает,
что кривая (контур) C является
замкнутой, и обход при интегрировании
вдоль этой кривой производится против
часовой стрелки.
Если
,
то формула Грина принимает вид
где S − это площадь области R, ограниченной контуром C. Формулу Грина можно записать также в векторной форме. Для этого введем понятия ротора векторного поля. Пусть векторное поле описывается функцией
Ротором или вихрем
векторного поля
называется
вектор, обозначаемый
или
и
равный
Формула Грина в векторной форме записывается в виде
Заметим, что формула Грина вытекает из "теоремы Стокса" при переходе от трехмерного случая к случаю двух координат.
29. Условие независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования. Восстановление функции по полному дифференциалу
Криволинейный интеграл второго рода
от векторной функции
не
зависит от пути интегрирования,
если P, Q и R являются непрерывными
функциями в области интегрирования D
и в этой области существует скалярная
функция
,
такая, что
В этом случае криволинейный интеграл второго рода от функции вдоль кривой C от точки A до точки B выражается формулой
(Здесь можно увидеть аналогию с формулой Ньютона-Лейбница для определенных интегралов.) Таким образом, если криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, то для любого замкнутого контура C справедливо соотношение
Векторное поле, обладающее свойством
,
называется потенциальным,
а функция
называется
потенциалом.
Признак потенциальности поля
Криволинейный интеграл II рода от функции не зависит от пути интегрирования, если
Предполагается, что каждый компонент функции имеет непрерывные частные производные по переменным x, y и z. Если криволинейный интеграл рассматривается в плоскости Oxy, то в случае потенциального поля будет справедливо соотношение
В этом случае признак потенциальности векторного поля упрощается и принимает вид
Рассмотренный признак является необходимым, но, вообще говоря, не достаточным для потенциальности поля. Данное условие достаточно, если только область интегрирования D односвязна.
30. Числовые ряды. Сумма и сходимость числового ряда. Свойства сходящихся рядов. Ряд геометрической прогрессии
Пусть мы имеем числовую
последовательность
,
где
.
Приведем пример числовой
последовательности:
.
Числовой ряд – это
сумма членов числовой последовательности
вида
.
В качестве примера числового
ряда можно привести сумму бесконечно
убывающей геометрической прогрессии
со знаменателем q = -0.5:
.
называют
общим членом числового ряда или
k–ым членом ряда.
Для предыдущего примера общий
член числового ряда имеет вид
.
Частичная сумма числового
ряда – это сумма вида
,
где n – некоторое натуральное число.
называют
также n-ой частичной суммой числового
ряда.
К примеру, четвертая частичная
сумма ряда
есть
.
Частичные суммы
образуют
бесконечную последовательность частичных
сумм числового ряда.
Для нашего ряда n –ая
частичная сумма находится по формуле
суммы первых n членов геометрической
прогрессии
,
то есть, будем иметь следующую
последовательность частичных сумм:
.
Числовой ряд
называется
сходящимся, если существует конечный
предел последовательности частичных
сумм
.
Если предел последовательности частичных
сумм числового ряда не существует или
бесконечен, то ряд
называется
расходящимся.
Суммой сходящегося числового
ряда
называется
предел последовательности его частичных
сумм, то есть,
.
В нашем примере
,
следовательно, ряд
сходится,
причем его сумма равна шестнадцати
третьим:
.
В качестве примера расходящегося
ряда можно привести сумму геометрической
прогрессии со знаменателем большем,
чем единица:
.
n–ая частичная сумма определяется
выражением
,
а предел частичных сумм бесконечен:
.
Еще одним примером расходящегося
числового ряда является сумма вида
.
В этом случае n–ая частичная сумма
может быть вычислена как
.
Предел частичных сумм бесконечен
.
СУММА ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ
ПРОГРЕССИИ ВИДА
СО
ЗНАМЕНАТЕЛЕМ q ЯВЛЯЕТСЯ СХОДЯЩИМСЯ
ЧИСЛОВЫМ РЯДОМ, ЕСЛИ
,
И РАСХОДЯЩИМСЯ РЯДОМ ПРИ
.
Докажем это.
Мы знаем, что сумма первых n
членов геометрической прогрессии
находится по формуле
.
При
справедливо
что
указывает на сходимость числового ряда.
При q = 1 имеем числовой ряд
.
Его частичные суммы находятся как
,
а предел частичных сумм бесконечен
,
что указывает на расходимость ряда в
этом случае.
Если q = -1, то числовой ряд
примет вид
.
Частичные суммы принимают значение
для
нечетных n, и
для
четных n. Из этого можно сделать
вывод, что предел частичных сумм не
существует и ряд расходится.
При
справедливо
что
указывает на расходимость числового
ряда.