22. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат
Для упрощения вычисления двойного интеграла часто применяют метод подстановки (как это делалось и при вычислении определенного интеграла), т. е. вводят новые переменные под знаком двойного интеграла.
Определим преобразование независимых переменных х и у (замену переменных) как
Если функции (7.9) имеют в некоторой области D* плоскости Ouv непрерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля определитель
а функция ƒ(х;у) непрерывна в области D, то справедлива формула замены переменных в двойном интеграле:
Функциональный определитель (7.10) называется определителем Якоби или якобианом (Г.Якоби - немецкий математик). Доказательство формулы (7.11) не приводим.Рассмотрим частный случай замены переменных, часто используемый при вычислении двойного интеграла, а именно замену декартовых координат х и у полярными координатами r и .
В качестве u и υ возьмем полярные координаты r и . Они связаны с декартовыми координатами формулами х=rcos , у=r sin (см. Часть 1, п. 9.1).
Правые части в этих равенствах - непрерывно дифференцируемые функции. Якобиан преобразования определяется из (7.10) как
Формула замены переменных (7.11) принимает вид:
где D* - область в полярной системе координат, соответствующая области D в декартовой системе координат.
Д
ля
вычисления двойного интеграла в полярных
координатах применяют то же правило
сведения его к двукратному интегралу.
Так, если область D* имеет вид, изображенный
на рисунке 10 (ограничена лучами =а
и =β, где а < β, и
кривыми r=r1()
и r=r2(), где
r1()≤r2(),
т. е. область D* правильная: луч, выходящий
из полюса, пересекает ее границу не
более чем в двух точках), то правую часть
формулы (7.12) можно записать в виде
Внутренний интеграл берется при постоянном .
Замечания.
1. Переход к полярным координатам полезен, когда подынтегральная функция имеет вид ƒ(х2+у2); область D есть круг, кольцо или часть таковых.
2. На практике переход к полярным координатам осуществляется путем замены х=rcos , у=rsin , dxdy=r dr d; уравнения линий, ограничивающих область D, также преобразуются к полярным координатам. Преобразование области D в область D* не выполняют, а, совместив декартову и полярную системы координат, находят нужные пределы интегрирования по r и (исследуя закон изменения r и точки (r; ) при ее отождествлении с точкой (х; у) области D).
Пример 7.2. Вычислить
где
область D - круг
Решение: П
рименив
формулу (7.12), перейдем к полярным
координатам:
Область D в полярной системе координат определяется неравенствами (см. рис. 11) 0≤≤2,0≤r≤3. Заметим: область D - круг - преобразуется в область D* - прямоугольник. Поэтому, согласно формуле (7.13), имеем:
23. Вычисление площадей и объемов с помощью двойного интеграла
1. Вычисление площадей в декартовых координатах.
y
y = j(x)
S
y = f(x)
a b x
Площадь S, показанная на рисунке может быть вычислена с помощью двойного интеграла по формуле:
Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y2 = 4x + 4;
x + y – 2 = 0.
Построим графики заданных функций:
Линии пересекаются в двух
точках – (0, 2) и (8, -6). Таким образом,
область интегрирования ограничена по
оси Ох графиками кривых от
до
х = 2 – у, а по оси Оу – от –6 до 2. Тогда
искомая площадь равна:
S =
2. Вычисление центров тяжести площадей плоских фигур.
Координаты центра тяжести находятся по формулам:
здесь w – поверхностная плотность (dm = wdydx –масса элемента площади).
Координаты центра тяжести однородной пластинки:
Пример: Определить
координаты центра тяжести однородной
пластины, образованной параболами:
,
Решение. Заданная пластина имеет форму, показанную на рисунке.
Поскольку пластина однородна,
то можно положить
Найдем статические моменты относительно осей Ox и Oy:
Найдем массу пластинки:
Найдем координаты центра тяжести:
3. Вычисление объемов тел.
Пусть тело ограничено снизу плоскостью ху, а сверху– поверхностью z = f(x,y),
а с боков – цилиндрической поверхностью.
Такое тело называется цилиндроид.
z
z = f(x, y)
x1 y1 x2
x
y2
y
V =
Пример. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:
Пример. Вычислить объем, ограниченный поверхностями: x2 + y2 = 1;
x + y + z =3 и плоскостью ХОY.
Пределы интегрирования: по оси
ОХ:
по оси ОY: x1 = -1; x2 = 1;
4. Вычисление площади кривой поверхности.
Если поверхность задана уравнением: f(x, y, z) = 0, то площадь ее поверхности находится по формуле:
