1.Первообразная и неопределенный интеграл, их свойства.

Определение первообразной.

Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство для любого х из заданного промежутка.

Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство . Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы С, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Определение неопределенного интеграла.

Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается .

Выражение называют подынтегральным выражением, а f(x) – подынтегральной функцией. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x).

Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C.

На основании свойств производной можно сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).

1. Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.

2. Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.

3. , где k – произвольная константа. Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.

4. Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.

Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла приведены для пояснения.

Для доказательства третьего и четвертого свойств достаточно найти производные от правых частей равенств:

Эти производные равны подынтегральным функциям, что и является доказательством в силу первого свойства. Оно же используется в последних переходах.

Таким образом, задача интегрирования является обратной задаче дифференцирования, причем между этими задачами очень тесная связь:

• первое свойство позволяет проводить проверку интегрирования. Чтобы проверить правильность выполненного интегрирования достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная в результате дифференцирования функция окажется равной подынтегральной функции, то это будет означать, что интегрирование проведено верно;

• второе свойство неопределенного интеграла позволяет по известному дифференциалу функции найти ее первообразную. На этом свойстве основано непосредственное вычисление неопределенных интегралов.

2.Табличные интегралы. Метод внесения под знак дифференциала

Сначала немного поговорим о постановке задачи в общем виде, а затем перейдём к примерам интегрирования подстановкой. Допустим, в нас есть некий интеграл ∫g(x)dx. Однако в таблице интегралов нужной формулы нет, да и разбить заданный интеграл на несколько табличных не удаётся (т.е. непосредственное интегрирование отпадает). Однако задача будет решена, если нам удастся найти некую подстановку u=φ(x), которая сведёт наш интеграл ∫g(x)dx к какому-либо табличному интегралу ∫f(u)du=F(u)+C. После применения формулы ∫f(u)du=F(u)+C нам останется только вернуть обратно переменную x. Формально это можно записать так:

∫g(x)dx=|u=φ(x)|=∫f(u)du=F(u)+C=F(φ(x))+C.

Проблема в том, как выбрать такую подстановку u. Для этого понадобится знание, во-первых, таблицы производных и умение её применять для дифференцирования сложных функций, а во-вторых, таблицы неопределенных интегралов. Кроме того, нам будет крайне необходима формула, которую я запишу ниже. Если y=f(x), то:

dy=y′dx(1)

Т.е. дифференциал некоторой функции равен производной этой функции, умноженной на дифференциал независимой переменной. Это правило очень важно, и именно оно позволит применять метод подстановки. Здесь же укажем пару частных случаев, которые получаются из формулы (1). Пусть y=x+C, где C – некая константа (число, попросту говоря). Тогда, подставляя в формулу (1) вместо y выражение x+C, получим следующее:

d(x+C)=(x+C)′dx

Так как (x+C)′=x′+C′=1+0=1, то указанная выше формула станет такой:

d(x+C)=(x+C)′dx=1⋅dx=dx.

Запишем полученный результат отдельно, т.е.

dx=d(x+C)(2)

Полученная формула означает, что прибавление константы под дифференциалом не изменяет оный дифференциал, т.е. dx=d(x+10), dx=d(x−587) и так далее.

Рассмотрим еще один частный случай для формулы (1). Пусть y=Cx, где C, опять-таки, является некоторой константой. Найдем дифференциал этой функции, подставляя в формулу (1) выражение Cx вместо y:

d(Cx)=(Cx)′dx

Так как (Cx)′=C⋅(x)′=C⋅1=C, то записанная выше формула d(Cx)=(Cx)′dx станет такой: d(Cx)=Cdx. Если разделить обе части этой формулы на C (при условии C≠0), то получим d(Cx)C=dx. Этот результат можно переписать в несколько иной форме:

dx=1C⋅d(Cx)(C≠0)(3)

Полученная формула говорит о том, что умножение выражения под дифференциалом на некую ненулевую константу требует введения соответствующего множителя, компенсирующего такое домножение. Например, dx=15d(5x), dx=−119d(19x).

В примерах №1 и №2 формулы (2) и (3) будут рассмотрены подробно.

Замечание относительно формул

В данной теме будут использоваться как формулы 1-3, так и формулы из таблицы неопределённых интегралов, которые тоже имеют свои номера. Чтобы не было путаницы, условимся о следующем: если в теме встречается текст "используем формулу №1", то означает он буквально следующее "используем формулу №1, расположенную на этой странице". Если нам понадобится формула из таблицы интегралов, то это будем оговаривать каждый раз отдельно. Например, так: "используем формулу №1 из таблицы интегралов".

И ещё одно небольшое примечание

Перед началом работы с примерами рекомендуется ознакомиться с материалом, изложенным в предыдущих темах, посвящённых понятию неопределённого интеграла и непосредственному интегрированию. Изложение материала в этой теме опирается на сведения, указанные в упомянутых темах.