1.2.3.2. Причины сложности обучения решению задач с параметрами в школе и пути их преодоления

Основными причинами здесь, конечно, являются трудности, определяемые спецификой самой деятельности по решению этих задач: ее не алгоритмичность, необходимость комплексного использования знаний и умений, переноса их в новые условия. Значительную роль также играет недостаточная разработанность методики введения относящихся к этим задачам теоретических вопросов, и как следствие, апеллирование преподавателей к чувственной основе действий, которое выражается, например, в предложениях: «представьте, что параметр - это конкретное число, но не забывайте, что он является переменной», «иногда удобно посмотреть на уравнение с параметром как на функцию», «для решения задачи надо выделить контрольные значения параметра такие, чтобы на полученных промежутках решение уравнения (неравенства) подчинялось одному алгоритму, однако найти их сразу нельзя» и т.п.

Еще одной причиной является низкая эффективность методики обучения, основанной на группировке упражнений по видам выражений (линейные, квадратные, целые, рациональные, дробно-рациональные, иррациональные, тригонометрические, логарифмические, показательные ), так как в данном случае стратегия решения слабо определяется видом выражения. Например, изменяя лишь положение параметра в структуре линейного уравнения, мы приходим к трем различным стратегиям его решения («последовательное преобразование», «исследование на промежутках», «разложение на множители»).

1. при любых

2. 

3. 

Предлагаемая методика предполагает другой способ планирования содержания обучения, а именно по видам требований задач с параметром, так как различие между переменными (неизвестным и параметром), а следовательно и специфика задач проявляются лишь относительно заданной цели деятельности. Это дает следующую последовательность изучения уравнений и неравенств с параметром.

Таблица №1

Тема	Основное содержание
Уравнения и неравенства с параметром: основные понятия	Уравнение (неравенство) с двумя переменными, связь переменных, неизвестная и параметр, уравнение (неравенство) с параметром, область допустимых значений, область допустимых значений параметра, область возможных значений неизвестной, решение (а;х), корень х(а), виды задач.
Задачи на нахождение множества корней уравнения (неравенства) зависимости от параметра	Критерии успешности решения, формула зависимости x(a), контрольные значения параметра, условия выделения контрольных значений параметра, их связь с видом выражений
Задачи на нахождение значений параметра, удовлетворяющих условиям, на множество корней	Критерии успешности решения, виды условий, накладываемых на корни уравнения (неравенства), их роль в определении стратегии решения; приемы решения, их связь с видом выражений
Задачи, сводящиеся к решению уравнений и неравенств с параметром	Решение сюжетных, прикладных геометрических задач, на исследование свойств функции, сводящихся к уравнениям и неравенствам

Необходимо отметить, что традиционная схема обучения состоит в информированности учащихся об особенностях решения задач и организации деятельности по использованию этой информации. Однако в случае задач с параметром специфической является лишь информация методологического характера (о критериях успешности, приемах решения, условиях выделения контрольных значений и т.п.), а теоретическая информация и терминология, введенная для уравнений и неравенств с одной переменной, распространяется без каких-либо существенных изменений. Поэтому здесь предпочтительней иной путь организации обучения, основанный не на усвоении готовой информации, а на рефлексивном анализе собственных затруднений и успехов в решении задач. Этот путь определяется спецификой природы методологического знания, которое относится к знанию рефлексивного типа (источником является не восприятие внешней действительности, а осознание внутреннего «Я»).

К категории рефлексивной деятельности психологи и педагоги обратились сравнительно недавно в связи с задачами гуманизации и гуманитаризации образования, усиления его развивающей функции.

Психологами И.Н. Семеновым и С.Ю. Степановым было доказано, что в мышлении можно выделить несколько иерархических уровней, наивысшими из которых являются уровни интеллектуальной и личностной рефлексии. Рефлексия выполняет регулирующую функцию в мышлении (планирует деятельность, контролирует осуществление программы, производит диагностику затруднений, корректировку образов и про грамм), а также интегрирующую функцию - способствует выявлению и обобщению знаний, содержащихся в опыте. Именно вторая функция рефлексии делает эту деятельность образовательно-значимой

Рефлексивные механизмы активизируются лишь в случаях появления интеллектуальных затруднений, поэтому включение учащихся в рефлексивную деятельность должно начинаться с подведения их к осознанию проблемы. Реализацию этого положения предлагается осуществлять по следующей схеме.

1. Учитель ставит перед учащимися проблемную ситуацию, связанную с анализом их деятельности или оценкой результатов деятельности учителя.

2. Учитель обсуждает с учащимися параметры анализа, демонстрирует спектр возможных направлений осуществления действий, критерии их

оценки.

3. Учитель предоставляет учащимся возможность самостоятельного принятия решений.

1.2.3.3. Основные понятия уравнений с параметрами, общая схема решения уравнений F(а; х)=0

Начиная с шестидесятых годов в содержание вступительных экзаменов в вузы включаются уравнения и неравенства с параметрами, а ныне уже выдвигается идея внедрения линии параметров в содержание школьного курса математики. Основанием для её реализации являются разработка системы понятий и поиск методов решения уравнений и неравенств с параметрами данного вида (линейных, рациональных и т.д.).

Для каждого вида уравнений школьного курса математики установим общий метод решения соответствующих уравнений с параметрами - единый как для одного, так и для двух параметров. Метод решения всякого уравнения с параметрами данного вида, в свою очередь, выведем из обобщенной схемы решения произвольных уравнений F(a;х)=0 или F(a;b;х)=0 соответственно с одним или двумя параметрами.

Основные понятия уравнений с параметрами. В уравнении F(x;у)=0 с двумя переменными х и у фиксированному значению х=а_о соответствует частное уравнение F(a_o;у) =0 с переменной у. Если b₁, b₂, …, b_k - все решения частного уравнения F(a_o;у) = о, то (а_о;b₁), (а_о;b₂), ... , (а_о;b_k) - все решения уравнения F(x; у)=0 с первой координатой, равной а_о. Изменяя значения х=ai и решая соответствующие частные уравнения F(a_i;у)=0, получим другие решения исходного уравнения F(x;у)=0.

Поставим следующую задачу: для каждого значения х=а, решить соответствующее частное уравнение F(a_i;у)=0 с переменной у. При такой постановке переменная х называется параметром, совокупность всех частных уравнений представлена в общей форме F(a;у)=0, где а-произвольное фиксированное значение переменной х.

Ясно, что переход от уравнения F(x;у)=0 к уравнению F(a;у)=0 есть способ указания всех решений в зависимости от значений первых координат. Аналогично поиск всех решений уравнения F(x;y)=0 в зависимости от фиксированных значений вторых координат у=b_i приводит к уравнению F(x;b)=0 с параметром b и переменной х. Например, уравнение с двумя переменными

может рассматриваться: как линейное уравнение

и как рациональное уравнение

Подобным образом уравнение F(a;b;х)=0 называется уравнением с параметрами а,b и переменной х, если для каждой упорядоченной пары значений переменных а и b необходимо решить соответствующее частное уравнение относительно переменой х. Так, уравнение

удобнее всего рассматривать как линейное уравнение

параметрами а и b и переменной х, т.е. как совокупность частных уравнений первой степени для конкретных значений а и b.

в уравнении Р(а;х)=0 частные уравнения F(a_i;х)=0 могут быть определены не для всех значений параметра. Например, в уравнении частные уравнения не определены для будем записывать кратко: ). и - область допустимых значений параметра. В общем случае область допустимых значений параметра уравнения Р(а ;х)=0 есть множество всех значений параметра, для которых частные уравнения определены.

В уравнении с параметром возможны ограничения как на множество значений параметра, так и на множество значений переменной. В качестве примера опять приведем уравнение , где для допустимого значения параметра область определения частного уравнения имеет вид в связи с этим имеет смысл говорить об области определения уравнения F(а;x)=0 как о множестве всех упорядоченных пар (a_i;х), где а=а, принадлежит области допустимых значений параметра, a x принадлежит области определения соответствующего частного уравнения F(a_i;х)=0. В данном случае область определения имеет вид .

Итак, уравнение Р(а;х)=0 есть бесконечная совокупность частных уравнений F(a_i;х)=0 для допустимых значений параметра а=a_i. Его решение осуществляется в два этапа:

1. разбиение совокупности всех частных уравнений на непересекающиеся типы;

2. поиск общих решений частных уравнений каждого типа. В процессе разбиения частных уравнений выделяются:

• совокупность особых частных уравнений типа Ø - все ложные числовые равенства;

• совокупность особых частных уравнений типа ∞ - все истинные числовые равенства;

• тип не особых частных уравнений, не имеющих решений;

• типы (один или несколько) частных уравнений с одинаковыми общими решениями.

Пример 1. В линейном уравнении значению а=0 и а=2 соответствуют особые частные уравнения типа Ø, для а=-2 частное уравнение является особым типа ∞. Значениям параметра из множества соответствует тип не особых частных уравнений с общим решением .

В результате получаем ответ, который запишем компактно следующим образом:

П ример 2. В линейном уравнении всем точкам прямой соответствуют частные уравнения типа ∞, точкам гиперболы , отличным то точек прямой ,соответствует тип Ø особых частных уравнений с отличной от нуля правой частью (рис.1).

Для остальных точек плоскости Оаb соответствующие частные уравнения имеют единственное решение, вычисляемое по формуле .

Итак:

; ;

Пример 3. В квадратном уравнении ни одно из частных уравнений не является особым типа Ø или типа ∞. Дискриминант обращается в нуль для значений а=-1 и а=4, причем D<0 для и D>0 для . Тогда совокупность всех частных уравнений разбивается на три типа:

• тип J не особых частных уравнений, не имеющих решений в множестве всех действительных чисел и соответствующих значениям параметра ;

• тип К не особых частных уравнений, имеющих двукратные корни вида и соответствующих множеству ;

• тип L не особых частных уравнений, имеющих различные общие решения и на множестве

Ответ: ; ;

Обратим внимание на два факта:

- разбиение частных уравнений на типы осуществляется выделением областей однотипности во множестве допустимых значений параметров. В уравнениях с одним параметром выделение областей проводится некоторыми точками - контрольными значениями параметра ( и в первом примере, и в третьем). В уравнениях с двумя параметрами области однотипности выделяются линиями контрольных значений параметров ( и во втором примере).

- для типов не особых частных уравнений находятся общие решения - определенные функции, зависящие от параметров. При этом тип частных уравнений характеризуется либо одним общим решением, либо несколькими.

Определение. В уравнении F(а;х)=0 с параметром а и переменной х функция х=f(а) называется общим решением на множестве A_f значений параметра, если для любого значение х = f(a_i) является решением частного уравнения F(a_i;х)=0.

В определении важен не только вид функции х = f(a), но и множество A_f соответствующих значений параметра. Для уравнения с двумя параметрами в качестве общих решений выступают функции на множестве .

Рассмотрим способ классификации частных уравнений с помощью модели общих решений.

Пример 4. В рациональном уравнении

Функция является общим решением для тех значений параметра, для которых . Поскольку

то - общее решение уравнения на .

Функция есть общее решение уравнения на множестве на .

П остроим модель общих решений в следующем виде(Рис. №2):

Рис. 1

На модели выделяем все типы частных уравнений:

; ; ;

Итак, на простых примерах рассмотрены основные понятия уравнений с параметрами: область допустимых значений, область определения, общие решения, контрольные значения параметров, типы частных уравнений. Способы их нахождения будут устанавливаться в каждом виде уравнений отдельно.

На базе введенных понятий определим общую схему решения всякого уравнения F(а;х)=0 с параметром а (для случая двух параметров схема аналогична) :

• устанавливаются область допустимых значений параметра и область определения;

• определяются контрольные значения параметра, разбивающие область допустимых значений параметра на области однотипности частных уравнений;

• для контрольных значений параметра соответствующие частные уравнения исследуются отдельно;

• находятся общие решения уравнения F(а; х) =0 на соответствующих множествах значений параметра:

• с

  Рис. 2

  оставляется модель общих решений, контрольных значений параметра в следующем виде (Рис. №3):

• на модели выделяются промежутки значений параметра с одинаковыми общими решениями (области однотипности);

• для контрольных значений параметра и выделенных областей

• однотипности записываются характеристики всех типов частных уравнений.