1.2.3.6. Интеграция алгебраического и геометрического методов при решении уравнений с параметром
История математики свидетельствует о том, что оба метода, алгебраический и геометрический, развивались в тесной взаимосвязи. Первые элементы алгебры появились сразу в двух равноправно существующих интерпретациях: геометрической и буквенно-символической. Именно благодаря взаимосвязи алгебраического и геометрического методов были сделаны многие открытия в математике.
В целом, как отмечал А.Д. Александров, «почти всю математику можно рассматривать как развивающуюся из взаимодействия алгебры (первоначально арифметики) и геометрии, а в смысле метода - из сочетания выкладок и геометрических представлений». Именно эта взаимосвязь и должна находить отражение в школьном курсе математики, показывая учащимся процесс становления математического знания, делая их реальными участниками математических «открытий».
Проиллюстрируем интеграцию алгебраического и геометрического методов на примере решения уравнения с параметром.
Пример. При каких значениях параметра а уравнение
не
имеет решений, имеет одно решение, два
решения, бесчисленное множество решений?
Решение.
1. Алгебраический метод.
Р
азобьем
всю числовую ось на три участка (Рис.
№5):
Е
Рис.
4
,
то получаем:
.
Уравнение будет иметь решения, если
.
При
уравнение не будет иметь решений.
Если
,
то имеем:
,
откуда
.
Уравнение
имеет бесчисленное множество решений
при
,
в случае, если
,
не имеет решений.
Если
,
то имеем:
.
Уравнение
имеет решения, если
откуда
.
При
уравнение не имеет решений.
Ответ:
при
уравнение
не имеет решений; при
уравнение
имеет два решения; при
уравнение
имеет бесчисленное множество решений;
одно решение уравнение не может иметь
ни при каком значении а.
2. Геометрический метод.
На
геометрическом языке уравнение
означает,
что надо найти такую точку
,сумма
расстояний от которой до точек
и
равна а. На
рис 1. Видно, что АВ=4, поэтому:
Если
,
то такой точки
,
сумма расстояний от которой до точек
и
равна а, не
существует, так как для точек на отрезке
АВ сумма расстояний до точек А и В равна
4, а для точек, лежащих вне отрезка АВ,
сумма расстояний больше 4. Значит, при
уравнение
не имеет решений.
Рис. 5
Если
,
то всегда существуют две точки
и
лежащие вне отрезка АВ и симметричные
относительно него, сумма расстояний от
каждой из которых до точек А и В равна
а. И
значит, уравнение имеет два решения.
Если , то существует бесконечно много точек , сумма расстояний от которых до точек А и В равна 4 (все они расположены на отрезке АВ). Значит, в этом случае уравнение имеет бесчисленное множество решений.
Кроме того, не существует одной точки, сумма расстояний от которой до точек А и В равна а. Так как, если есть одна точка, то найдется всегда и ей симметричная относительно отрезка АВ. Следовательно, уравнение не может иметь одного решения ни при каком значении а.
В итоге ответ получаем такой же, как и в случае алгебраического метода.