Вопрос об интерпретации (Влад Велич в недоумении)

Вопрос: каким образом рассуждения можно заменить манипуляцией символами, если классическая логика позволяет импликацию между утверждениями, не связанными по смыслу? С другой стороны, если основание импликации истинно, то почему бы не признать истинной всю импликацию. В рассуждении «дифференцируемая функция непрерывна, следовательно, сумма углов треугольника равна 180 градусов» может быть больше смысла, чем кажется – если вспомнить об идее взаимообусловленности всего сущего. Вообще, понятие «связанности по смыслу» - это тонкое и не вполне ясное онтологическое понятие. Связаны ли по смыслу утверждения «через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной» и «существует четырехугольник, у которого все углы прямые»? А между тем это эквивалентные утверждения. Связаны ли по смыслу численность волков и зайцев и колебания маятника? Молния и то, что мы не проваливаемся сквозь опору? На последний вопрос можно с уверенностью ответить «нет», если не знать, что в том и в другом случае речь идет о проявлении электромагнитных сил.

Неклассические логики

Классическая логика – это определенный набор законов о функциях, принимающих ровно два значения: «истинно» и «ложно»

Чтобы логика стала неклассической, можно:

1. Изменить этот набор законов. Например, интуиционистская логика.

2. Заставить логические функции принимать промежуточные значения между «истинно» и «ложно». Это – нечеткая логика.

3. Изменить число возможных значений логических функций: построить трех-, четырех- и вообще N-значные логики.

Интуиционистская логика

Восходит к Брауэру, систематически изложена Гейтингом в 1930 г. Отказывается от закона исключенного третьего (А или «не А» истинно), вследствие этого – от приведения к абсурду (если из «не А» следует противоречие, то А истинно). Также отбрасывается закон снятия отрицания (не «не А»  A).

Трехзначная логика

Впервые построена Я. Лукасевичем в 1920, годом позже – Э. Постом. Все законы трехзначной логики имеются и в двухзначной, но обратное неверно: в трехзначной логике нет, очевидно, закона исключенного третьего, закона непротиворечия тоже нет. Может показаться, что в трехзначной логике должен быть закон исключенного четвертого: А или «не А» или «что-то еще А» истинно. Но это не очевидно. Возможно, выражение А или «не А» или «что-то еще А» может быть как истинно, так и «что-то еще» - Авт.

Другие логики

Для многозначных логик существенна проблема интерпретации. Чтобы применить ее к каким-то задачам, нужно наполнить возможные значения логических переменных содержанием, но каким? Нужно учесть, что сама семантика понятий «истинно» и «ложно» сформирована классической логикой и адекватна только ей. Таким образом, проблема интерпретации N-значной логики не только в том, чтобы придать смысл новым N-2 значениям, но и в том, что традиционные два значения не могут более мыслиться как «истинно» и «ложно». Например, трехзначную логику нельзя интерпретировать как «истинно», «ложно» и «неизвестно», так как по смыслу неизвестное тоже либо истинно, либо ложно. Можно, например, интерпретировать трехзначную логику как «на данный момент известно, что истинно», «на данный момент известно, что ложно» и «неизвестно на данный момент», или «запрещено»-«разрешено»-«предписано», или «неизбежно»-«случайно»-«невозможно», и т.п. К слову, Аристотель считал, что двоичная логика применима только к прошлому и настоящему, но не к будущему – именно потому, что «неизвестно на данный момент». Здесь он, конечно, был непоследователен, но от его непоследовательности до троичной логики оставался шаг.

Логика может строиться двумя путями – от формализма к содержанию или от содержания к формализму. В первом случае сначала создается формализм, а затем уже отыскивается, к чему бы его применить. Во втором выполняется формализация работы с какими-то содержательными понятиями, а потом уже выясняется, есть ли в этой формализации что-нибудь новое. Это же, впрочем, можно сказать и о всей математике: первый путь соответствует чистой математике, второй – прикладной.

От содержания к формализму были построены:

Эпистемическая логика, построенная на понятиях «убежден», «сомневается» и т.д. В качестве примера ее законов Ивин приводит «неверно, что субъект убежден в чем-то и вместе с тем сомневается в этом», что очень странно – получается, что во множестве значений этой логики присутствуют «истинно» и «ложно», чего, по идее, быть не должно.

Логика времени, построенная на понятиях «было», «есть», «будет» и т.п. В числе ее законов «если было, что будет А, то А будет».

Логика норм, или деонтическая логика: «запрещено»-«разрешено»-«предписано».

Логика оценок (создатель А. А. Ивин): «хорошо»-«плохо»-«безразлично».

Эти и другие логики, построенные на понятиях отношения к действию, называются модальными и составляют, по Ивину, одно из популярнейших направлений современных логических исследований.

Логика оценок и норм может создать удобный аппарат для этики и юриспруденции. Однако нужно понимать, что как классическая логика не способна установить истинность или ложность посылок, а способна только вывести из посылок следствия, так и в логике оценок необходимы исходные посылки, о которых из каких-то внешних источников известно, что А – это уж точно хорошо, а В – таки очень плохо. Так что горячих споров о посылках все равно не избежать.

Кроме абсолютных модальных понятий, в модальных логиках содержатся также сравнительные: «лучше»-«хуже»-«равноценно», «раньше»-«позже»-«одновременно» и т.д. О них есть свои законы, например в логике времени – «А не будет раньше А».

В каждой версии модальной логики есть свой закон полноты, аналог закона исключенного третьего: «истинно, что А разрешено или запрещено или предписано», а также закон непротиворечия: «ложно, что А запрещено и предписано или запрещено и разрешено или разрешено и предписано». Видимо, понятия «ложно» и «истинно» здесь все же привлекаются особым образом: хотя они не могут быть значениями переменных, но могут быть значениями функций. В самом деле, нельзя же сказать «плохо, что А плохо и А хорошо». «А плохо и А хорошо» - это не плохо, это невозможно. С другой стороны, в логике норм законы полноты и непротиворечия как будто могут быть записаны в терминах «запрещено» и «предписано». Выходит, логики могут различаться по тому, требуют ли они наличия особых переменных «истинно» и «ложно» в качестве значений функций – Авт. Однако в разных логиках существуют и свои собственные законы, призванные отразить своеобразие предмета, для формализации которого они созданы.

Ивин утверждает также, что отдельные проблемы модальной логики активно исследовались в античности и средневековье, но были основательно забыты к Новому времени.

Построены также десятки неизоморфных вариантов логики квантовой механики, однако на сегодняшний день нет ни ясности, какой из них лучше, ни даже уверенности в том, что для рассуждений о квантовых объектах нужна особая логика. И сколько-нибудь заметного вклада этих логик в развитие самой квантовой механики тоже нет.

Паранепротиворечивая логика не позволяет выводить из противоречия любое высказывание.

Логика с релевантной импликацией (1950-е, Аккерман, Андерсен, Белнап) позволяет связывать импликацией только утверждения, связанные по смыслу. Любопытно было бы знать, как в ней формализуется смысл – Авт.

Казуальная логика призвана формализовать онтологическое понятие причинности, которое не сводится к понятию следования из классической логики. Так, казуальная логика содержит интуитивно необходимый закон «если А есть причина В, то В не есть причина А», а также «неверно, что А есть причина А». Эти законы отличаются от принятых в классической логике для следования, согласно которым А=>A и возможна ситуация, когда А=>B и В=>А (она означает, что А и В эквивалентны). Такие ограничения связаны с тем, что онтологические понятие причинности призвано осмыслить причинно-следственные связи в материальном мире, где, как известно, причинно-следственный ряд изоморфен временному и анизотропен. Особым видом казуальной логики является вероятностная логика, где причина повышает вероятность следствия.

Логика направленности, построенная на понятиях «существует», «возникает» и «исчезает» с добавлением «еще» и «уже», «начинать» и «прекращать». Среди его законов, в частности: «существовать = прекращать возникать = начинать исчезать», «уже существует = существует или возникает». Логика направленности является одной из многих логик изменения, построенных с целью формализовать рассуждения о существовании и изменении, о бытии, небытии и становлении.

Важно, что каждая из создаваемых логик имеет формализм, позволяющий свести рассуждения к манипуляции символами. Это позволяет избежать двусмысленностей в рассуждениях, зато переносит все споры на этап выработки правил логики.

Конец конспекта.

12