И напоследок интересное наблюдение Ивина

В Книге Бытия Бог, творя мир, одновременно творит и имена: «и назвал Бог свет днем, а тьму ночью».

Классическая логика Категорическая силлогистика

Детище Аристотеля (в Индии и Китае также были логические школы, но к греческой они и близко не подошли), к которой, собственно, сводилась вся известная логика вплоть до XIX в.

Категорическими называются высказывания следующих четырех видов:

1. Все А есть В. (обозначим это A α B).

2. Некоторые А есть В (A β B).

3. Все А не есть В (A γ B).

4. Некоторые А не есть В (A δ B).

Категорическим силлогизмом называется рассуждение, выводящее из двух категорических высказываний третье. Общая схема силлогизма:

A φ B и B ψ C => A χ C,

где φ, ψ, χ принимают значения α, β, γ, δ.

Таким образом, все мыслимые схемы категорического силлогизма строятся как размещение из четырех элементов α, β, γ, δ по трем позициям φ, ψ, χ. По формулам комбинаторики число таких размещений 4³ = 64, из них 24 отвечают верным заключениям и, соответственно, 40 – неверным.

Принято требовать, чтобы все имена, входящие в категорический силлогизм, были непусты.

Об определениях индукции и дедукции

Ивин определяет дедукцию как любое заключение, в котором следствие истинно, если истинны посылки, индукцию – как любое недедуктивное заключение (а не только «от частного к общему»). Таким образом, полная индукция относится им к дедукции, что забавно. Важным для науки видом индукции является косвенное подтверждение: «Из А следует В, С и D. В, С и D истинны. Значит, вероятно, что истинно А.» Это не дедукция, если В, С и D не эквивалентны А, но именно так проверяются научные теории: по разнообразным подтвердившимся следствиям.

Специфический прием доказательства

Чтобы доказать А, достаточно доказать, что из «не А» следует А. Тогда «не А» не может быть истинным по закону непротиворечия. Таким образом, «не А» ложно – следовательно, А истинно.

О роли софистов

Ивин утверждает, что софисты своими шокирующими манипуляциями впервые привлекли внимание к анализу языка и формы рассуждения, не зависящей от содержания. Похоже на правду. Также он утверждает, что обвинять софистов в сознательном нарушении логических законов трудно, так как в то время логические законы еще не были известны. Не готов согласиться, ибо, будучи ребенком, я не знал по формулировкам ни одного логического закона и, тем не менее, прекрасно различал софизмы. Впрочем, верно и то, что тексты, из которых я интуитивно усваивал логику, были текстами культуры развитого логического мышления. Возможно, если бы я учился по древнегреческим текстам, софизмы действительно ставили бы меня в тупик.

Решения «парадокса лжеца»

1. Выражение «я сейчас лгу» бессмысленно, подобно выражению «если бежать туман, то паровоз» (Оккам). Для бессмысленных утверждений не определена ни ложность, ни истинность. Однако выражение «я сейчас лгу» интуитивно воспринимается как вполне осмысленное. К тому же оно является отрицанием утверждения «я сейчас говорю правду», которое никаких вопросов вообще не вызывает. Может ли быть бессмысленным отрицание осмысленного утверждения?

2. Утверждение «я сейчас лгу» является сокращением от «истинно говорю вам: я сейчас лгу», а потому содержит явное противоречие и как таковое ложно (Буридан). Неубедительно, что «я сейчас лгу» является сокращением от чего бы то ни было.

3. Проблема в том, что мы говорим на одном и том же языке и о предметах, и об утверждениях (Тарский). Нужно говорить о предметах на одном языке (предметный язык), об утверждениях предметного языка – на другом (метаязык), на котором нельзя говорить о предметах, об утверждениях метаязыка – на третьем (метаметаязык) и т.д. Таким образом, для парадокса лжеца не оказывается языка, на котором его можно сформулировать: о факте истинности или ложности чего-либо должен говорить предметный язык, но он не может говорить о собственных утверждениях, а метаязык, способный говорить о выражении предметного языка «произносимое мною ложно», не может говорить об истинности или ложности этого выражения. Такое расслоение языков и сегодня популярно среди логиков. Помнится, так же Рассел и К пытались обойти парадоксы теории множеств, но им пришлось привлечь сомнительную «аксиому сводимости», чтобы переходить от рассуждений о классах обратно к рассуждениям о множествах.