Об определениях

Под определением понятия понимается очерчивание его границ, отделение от других понятий. Хотелось бы, конечно, при этом схватить суть^ТМ, а не определять человека через мочку уха, но увы…

Определения делятся на явные («А есть В, у которого в левом С застряло D» и неявные. Среди неявных выделяются, например, контекстуальные (понимание смысла термина из контекста, которым широко пользуются дети). Особую роль играют остенсивные определения – определения путем показа. «Что такое ложка? – Вот ложка, смотри». По существу, это единственный способ связать язык с предметным миром.

О контекстуально-зависимых подстановках (собственные размышления Влада Велича)

Рассмотрим две числовые функции, f(t) и g(t). Если при некотором значении переменной выполняется равенство

f(t) = g(t) (*)

то для этого t для любой функции P

P(f(t)) = P(g(t)) (**).

Если функции f(t) и g(t) тождественны, то (*) и, соответственно, (**) выполняются для любого t. Но и для нетождественных функций могут существовать значения t, для которых верно (*) – и оно влечет за собой (**). В частности, для f(t) = t ², g(t) = t + 2 таким значением является t = 2.

Сказанное справедливо не только для функций, определенных на множестве чисел. Например, функции f и g можно определить на множестве квадратных матриц – пусть f будет «определитель матрицы в квадрате», а g – «определитель матрицы + 2», тогда для матрицы

1 0 0

t = 0 2 0

0 0 1

Выполнится (*), а значит, и (**).

С логическими функциями все печальнее.

Например, пусть у девушки есть брат Матвей. Она, разумеется, знает, что Матвей – ее брат. Пусть теперь девушке завязывают глаза, к ней подходит Матвей и берет ее за руку. Она не знает, кто именно взял ее за руку.

Пусть f(t) – “t есть человек, взявший девушку за руку”, g(t) – «y есть брат девушки». Очевидно, при t = “Матвей” выполняется

f(t) = g(t) (*)

Рассмотрим функцию P(φ) = “девушка знает, что φ”, где φ – некоторое высказывание. Очевидно, что P(g(t)) = 1 (девушка знает, что Матвей – ее брат), однако P(f(t)) = 0 (девушка не знает, что Матвей – человек, взявший ее за руку).

Очевидно, таким образом, что выполнение (*) для данного t еще не влечет за собой выполнения (**). Мы можем гарантировать (**), только когда (*) является тождеством.

Это наводит на интересные мысли. В случае функций f и g, имеющих своим значением число, преобразование P(f(t)) выполняется над числом φ, и не важно, каким образом это число получено – как φ = f(t) или как φ = g(t). Значение φ целиком определяет значение P(φ). В случае же P(φ) = “девушка знает, что φ” преобразование P(f(t)) выполняется над самой функцией f(t). Если бы мы подставляли значение, равное «истина», то получили бы P(f(t)) = “девушка знает, что «истина»” и P(g(t)) = “девушка знает, что «истина»” – высказывания идентичные, но бессмысленные. Мы подставляем не значение этой функции, получая “девушка знает, что «истина»”, а именно «девушка знает, что Матвей – человек, взявший ее за руку». А поскольку f(t) и g(t) не тождественны, то и равенства мы не получаем.

Аналогично, пусть P(φ) – функционал, равный dφ/dt. Тогда для f = x², g = x + 2 P(f) не равно P(g), невзирая на то, что в какой-то точке t=2 значения функций совпадают.

Пусть теперь, однако, на глазах девушки нет повязки. Тогда P(f(t)) = P(g(t)), причем именно для t = “Матвей”, хотя подставляются, опять-таки, сами функции, а не два значения «истина». Если верить лекциям Семенидо, не известно формального способа отличить P(φ) с контекстуально-зависимыми и контекстуально-независимыми подстановками.