13. Нахождение регрессионных коэффициентов.

Регрессионные коэффициенты b₀,…b_k находят посредством МНК (метода наименьших квадратов), при котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений эмпирических данных y_i от расчетных =b₀+b₁*x_i1+ b₂*x_i2+ … +b_k*x_ik,

Σ(y_i –( b₀+b₁*x_i1+ b₂*x_i2+ … +b_k*x_ik))²  min

Для нахождения минимума данной функции удобно перейти к матричной форме записи, используя следующие обозначения:

Y=

Вектор регрессионных коэффициентов по МНК вычисляется по формуле:

b=(X^TX)^-1X^TY

Коэффициент b_j показывает, насколько в среднем изменяется величина результативного признака (в его единицах измерения) при изменении j-го факторного признака на единицу (в его единицах измерения).

13. Оценка качества уравнения регрессии. Расчет коэффициента детерминации и множественного коэффициента корреляции.

Для оценки того, насколько хорошо уравнение регрессии описывает данные, рассчитывается коэффициент детерминации, основанный на следующем тождестве:

Общая сумма квадратов = Регрессионная(объясненная) сумма квадратов + Остаточная сумма квадратов.

Общая сумма квадратов оценивает всю вариацию результативного показателя, регрессионная (объясненная) сумма квадратов показывает вариацию расчетных значений результативного относительно среднего значения результативного показателя, остаточная сумма квадратов характеризует расхождение между расчетными и фактическими значениями результативного показателя.

Регрессионная (объясненная) сумма квадратов показывает вариацию результативного показателя, обусловленную вариацией факторного показателя.

Остаточная сумма квадратов показывает вариацию результативного показателя, которую нельзя объяснить вариацией факторных показателей.

Коэффициент детерминации R² рассчитывается как отношение объясненной суммы квадратов к общей сумме квадратов. Коэффициент детерминации показывает, какая часть вариации результативного показателя объясняется вариацией факторного показателя. Коэффициент детерминации может изменяться от 0 до 1. Чем ближе коэффициент детерминации к 1, тем лучше уравнение регрессии.

Множественный коэффициент корреляции рассчитывается как парный коэффициент корреляции между фактическими и прогнозными значениями результативного показателя.

Множественный коэффициент корреляции и коэффициент детерминации связаны следующим соотношением: квадрат множественного коэффициента корреляции равен коэффициенту детерминации.

Недостатком коэффициента детерминации является то, что он растет даже при добавлении в модель факторов, не оказывающих влияния на результативный показатель. Поэтому дополнительно к коэффициенту детерминации рассчитывается скорректированный коэффициент детерминации, включающий «штраф» за увеличение числа факторов в модели. Формула для расчета скорректированного коэффициента детерминации:

18-20. Оценка значимости уравнения регрессии, т.е. возможности переносить результаты, полученные по выборке, на всю генеральную совокупность

13. Тест Фишера:

Нулевая гипотеза этого теста: коэффициент R²_гс=0 (коэффициент детерминации в генеральной совокупности равен 0) или что тоже самок β₁= β₂=…= β_k=0 (все регрессионные коэффициенты кроме b₀ равны 0, т.е. ни один из факторов, включенных в модель, в генеральной совокупности не оказывает влияния на результативный показатель). Тестовая статистика рассчитывается по формуле:

Доказано, что в случае справедливости нулевой гипотезы F является случайной величиной, распределенной по закону Фишера с k, n-k-1 степенями свободы. Поэтому по значению F можно определить вероятность p наблюдать полученное или большее значение альт. гипотеза т.е. рост хотя бы одного из факторных показателей и в генеральной совокупности при прочих равных условиях (неизменности других факторов) сопровождается ростом или снижением (в зависимости от знака βj) условного среднего значения результативного показателя.