13. Уравнение связи между ожидаемой нормой доходности и риском

Пусть имеется портфель А с характеристиками r_срА и ²_А. Сформируем портфель Р путем сочетания портфеля А с безрисковым активом, т.е. ценной бумагой f с характеристиками r_{ср f}, ²_f=0, R_A,f=0 (корреляция любого портфеля с безрисковым активом равна 0, что легко доказать, используя формулу для расчета коэффициента корреляции). Оценим характеристики портфеля Р, т.е. его среднюю ожидаемую доходность (4) и риск (5).

r_{ср Р} = w_A*r_{ср A}+ w_f*r_{ср f} = w_A*r_{ср А}+ (1- w_A)*r_{ср f} (4)

²_P= w_A ²*²_A+w_Б ²*²_f+2*_A*_f* w_A * w_f*R_A,f=

w_A ²*²_A+w_Б ²*0+2*_A*0* w_A * w_f*0= w_A ²*²_A (5)

Из уравнения (5) следует, что (6). Подставляя (6) в (4), получаем следующее уравнение, связывающее доходности и риски двух портфелей:

r_{ср Р} - r_{ср f} = _P/_A*( r_{ср A} - r_{ср f} ) (7).

Таким образом, премия за риск по портфелю P прямо пропорциональна премии за риск по портфелю А, при этом коэффициент пропорциональности отношению рисков портфелей Р и А соответственно.

Если А- общий рыночный портфель М (market), а Р- портфель, включающий одну j-ю ценную бумагу, тогда уравнение (7) примет вид (8).

r_{ср j} - r_{ср f} = _j/_M*( r_{ср M} - r_{ср f} ) (8)

Имея данные по норме доходности какой-либо ценной бумаги, рынка в целом, а также безрисковой норме доходности за определенный период (обычно используются данные за последние 60 месяцев), используя методику парного линейного регрессионного анализа, оценивают и публикуют значения коэффициентов b_j=_j/_M . Вспомним, что коэффициент b_j показывает, насколько % в среднем изменяется норма доходности j-й ценной бумаги при увеличении доходности по рынку в целом на 1%. Практические исследования показали, что акции различных компаний значительно различаются по значению коэффициентов b_j . Традиционно считается, что покупка ценных бумаг с b_j >1- агрессивная позиция, покупка ценных бумаг с b_j<1- защитная позиция. Существуют активы, у которых b_j<0, такие активы называются сверхзащитными. Акции большинства «голубых фишек» («голубые фишки»- первоклассные акции, риск снижения доходности по которым невелик) имеют b_j0,5.

Важный экономический смысл имеет и коэффициент детерминации регрессионной модели R²_j- он показывает, какая часть вариации доходности j-й акции объясняется вариацией доходности рынка в целом. Иными словами, R²_j- доля неспецифического риска в общем риске j-й акции. Анализ показывает, что для отдельных компаний R²_j обычно составляет приблизительно 30%.

16-21. Множественный линейный регрессионный анализ

Главной целью регрессионного анализа является изучение связи между факторными признаками и результативным показателем.

Уравнение парной линейной регрессии имеет вид:

y_i=b₀+b₁*x_i1+ b₂*x_i2+ … +b_k*x_ik+e_i,

где y_i –значение результативного показателя в i-м наблюдении, x_ij- значение j-го факторного показателя в i-м наблюдении, b₀,…b_k – регрессионные коэффициенты, e_i- ошибка в i-м наблюдении. Регрессия называется множественной, так как используется несколько факторных показателей. Регрессия называется линейной, так как аналитическая форма связи между факторными и результативным показателями - линейная функция.

Этапы выполнения регрессионного анализа: