31. Экспоненциальная модель
Для
линеаризации используются методы
логарифмирования и замены переменных.
Прологарифмировав левую и правую части
этого уравнения, получаем: 
.
Рассчитываем новую переменную
z=ln(y) (т.е.
фактически вычисляем дополнительный
столбец z
по формуле zi=ln(yi)
). Рассчитываем
регрессионные коэффициенты однофакторной
линейной модели 
.
Затем определяем регрессионные
коэффициенты экспоненциальной модели:
,
b1=B1.
Поведение функции в зависимости от значений параметров описано в таблице.
b0 |
b1 |
Возрастание или убы- вание |
Выпук-лость или вогну-тость |
Характер зависимости |
> 0 |
>0 |
монотонно возраста-ющая |
вогнутая |
Прямая зависимость с увеличивающейся скоростью роста, результирующий показатель принимает только положительные значения |
> 0 |
<0 |
монотонно убывающая |
вогнутая |
Обратная зависимость с уменьшающейся скоростью падения, результирующий показатель принимает только положительные значения |
<0 |
>0 |
монотонно убывающая |
выпуклая |
Обратная зависимость с увеличивающейся скоростью падения, результирующий показатель принимает только отрицательные значения |
<0 |
<0 |
монотонно возрастающая |
выпуклая |
Прямая зависимость с уменьшающейся скоростью роста, результирующий показатель принимает только отрицательные значения |
График рассматриваемой функции при различных сочетаниях значений параметров приведен на рис.7.
Рис.7.
График функции 
32. Логистическая модель
Для
линеаризации используется метод замены
переменных. Рассчитываем новые переменные
и 
(т.е. фактически
вычисляем дополнительные столбцы z1
по формуле 
и z2
по формуле 
). Рассчитываем
регрессионные коэффициенты однофакторной
линейной модели 
.
Поведение функции в зависимости от значений параметров описано в таблице.
b0 |
b1 |
Возрастание или убывание |
Выпукл/вогн |
Характер зависимости |
> 0 |
>0 |
монотонно возраста-ющая с двумя горизонтальными асимптотами (y=0 и y=1/b0) |
Сначала вогнутая, затем выпуклая |
Прямая зависимость с сначала увеличивающейся, а затем с уменьшающейся скоростью роста; результирующий показатель принимает только положительные значения |
> 0 |
<0 |
монотонно убывающая с двумя горизонтальными (y=0 и y=1/b0) и одной вертикальной асимптотами (x=-ln(-b0/b1) |
Сначала выпуклая, потом вогнутая |
Обратная зависимость с увеличивающейся скоростью падения, при этом результирующий показатель принимает только отрицательные значения. Обратная зависимость с уменьшающейся скоростью падения, при этом результирующий показатель принимает только положительные значения. |
<0 |
>0 |
монотонно возрастающая с двумя горизонтальными (y=0 и y=1/b0) и одной вертикальной асимптотами (x=-ln(-b0/b1) |
Сначала вогнутая, потом выпуклая |
Прямая зависимость с увеличивающейся скоростью роста, при этом результирующий показатель принимает только положительные значения. Прямая зависимость с уменьшающейся скоростью роста, при этом результирующий показатель принимает только отрицательные значения. |
<0 |
<0 |
монотонно убывающая с двумя горизонтальными асимптотами (y=0 и y=1/b0) |
Сначала выпуклая, потом вогнутая |
Обратная зависимость с сначала увеличивающейся, а потом уменьшающейся скоростью падения, результирующий показатель принимает только отрицательные значения |
График рассматриваемой функции при различных сочетаниях значений параметров приведен на рис.8.
Рис.8. График функции