29. Полулогарифмические модели

3.1. . Для линеаризации используется методы логарифмирования и замены переменных. Прологарифмировав левую и правую части этого уравнения, получаем: . Рассчитываем новую переменную z=ln(x) (т.е. фактически вычисляется дополнительный столбец z по формуле z_i=ln(x_i)) и задача поиска регрессионных коэффициентов этой нелинейной модели сводится к задаче поиска регрессионных коэффициентов однофакторной линейной модели z=b₀+b₁*x+.

Графиком этой функции является экспоненциальная кривая (рис.4). Как видно из графика, при x>0 рассматриваемая функция подходит для моделирования прямых зависимостей как с увеличивающейся скоростью роста (если b₁>0, то имеем дело с монотонно возрастающей вогнутой функцией) и обратных зависимостей с уменьшающейся скоростью падения (если b₁<0, то имеем дело с убывающей вогнутой функцией).

Рис.4. График функции

3.2. Для линеаризации используется метод замены переменных: z=ln(x) (т.е. фактически вычисляется дополнительный столбец z по формуле z_i=ln(x_i)) и задача поиска регрессионных коэффициентов этой нелинейной модели сводится к задаче поиска регрессионных коэффициентов однофакторной линейной модели y=b₀+b₁*z+.

График рассматриваемой функции приведен на рис.5. Как видно из графика, при x>0 рассматриваемая функция подходит для моделирования прямых зависимостей как с уменьшающейся скоростью роста (если b₁>0, то имеем дело с монотонно возрастающей выпуклой функцией) и обратных зависимостей с уменьшающейся скоростью падения (если b₁<0, то имеем дело с убывающей вогнутой функцией).

Рис.5. График функции

30. Степенная модель

Для линеаризации используются методы логарифмирования и замены переменных. Прологарифмировав левую и правую части этого уравнения, получаем: . Рассчитываем новые переменные z₁=ln(x) и z₂=ln(y) (т.е. фактически вычисляем дополнительные столбцы z₁ по формуле z_1i=ln(x_i) и z₂ по формуле z_2i=ln(y_i) ). Рассчитываем регрессионные коэффициенты однофакторной линейной модели . Затем определяем регрессионные коэффициенты степенной модели: , b₁=B₁.

Поведение функции в зависимости от значений параметров описано в таблице.

b0	b1	Возрастание или убы- вание	Выпук-лость или вогну-тость	Характер зависимости
> 0	>0 и <1	монотонно возраста-ющая	выпуклая	Прямая зависимость с уменьшающейся скоростью роста, результирующий показатель принимает только положительные значения
> 0	>1	монотонно возраста-ющая	вогнутая	Прямая зависимость с увеличивающейся скоростью роста, результирующий показатель принимает только положительные значения
> 0	< 0	монотонно убывающая	вогнутая	Обратная зависимость с уменьшающейся скоростью падения, результирующий показатель принимает только положительные значения
< 0	>0 и <1	монотонно убывающая	вогнутая	Обратная зависимость с уменьшающейся скоростью падения, результирующий показатель принимает только отрицательные значения
< 0	>1	монотонно убывающая	выпуклая	Обратная зависимость с увеличивающейся скоростью падения, результирующий показатель принимает только отрицательные значения
< 0	<0	монотонно возраста-ющая	выпуклая	Прямая зависимость с уменьшающейся скоростью роста, результирующий показатель принимает только отрицательные значения

График рассматриваемой функции при различных сочетаниях значений параметров приведен на рис.6.

Рис.6. График функции