26. Алгоритм пошагового исключения

ШАГ 1: Строим регрессионную модель, включающую все факторы, имеющиеся в нашем распоряжении.

ШАГ 2: Если в текущей регрессионной модели есть факторы, то проверяем факторы на значимость с помощью тестов Стьюдента, выбираем самый незначимый фактор (тот, у которого p в тесте Стьюдента самая большая) и идем на ШАГ 3, иначе идем на ШАГ 4.

ШАГ 3: Исключаем самый незначимый фактор, строим новую регрессионную модель без исключенного фактора, оцениваем значимость исключения фактора по тесту Фишера (см. алгоритм пошагового включения) и идем на ШАГ 2.

ШАГ 4: Анализируем все рассмотренные модели и отбираем из них те, в которых все факторы значимы (во всех тестах Стьюдента нулевая гипотеза отвергалась). Из отобранных моделей выбираем ту, в который коэффициент детерминации максимален.

27-34. Нелинейные модели регрессии и их линеаризация. Критерии выбора лучшей формы связи. Расчет коэффициентов эластичности

I. Однофакторные нелинейные модели регрессии и их линеаризация

Во многих практических ситуациях моделирование экономических зависимостей линейными уравнениями не является оправданным, т.к. многие экономические зависимости не являются линейными. Однако часто удается свести нелинейную регрессию к линейной используя методы замены переменных и логарифмирования обоих частей уравнения.

Покажем процедуру линеаризации нескольких видов парной нелинейной зависимости, а также обсудим, для описания каких зависимостей подходят рассматриваемые функции. Для простоты описания будем изучать функции на интервале x[0; +∞).

27. Полиномиальные модели, т.е. модели, в которых связь между результирующим и факторным показателями описывается полиномом k-го порядка.

y(x)=b₀+b₁*x+b₂*x² - полином 2-го порядка. Для линеаризации используется метод замены переменных: z=x² (т.е. фактически вычисляется дополнительный столбец z по формуле z_i=x_i²) и задача поиска регрессионных коэффициентов этой нелинейной модели сводится к задаче поиска регрессионных коэффициентов двухфакторной линейной модели y=b₀+b₁*x+b₂^*z+.

y(x)=b₀+b₁*x+b₂*x²+...+ b_kx^k - полином k-го порядка; линеаризуется аналогичным способом, что и полином 2-го порядка.

Обсудим подробно полином 2-го порядка. Графиком этой функции является порабола (см.рис.1).

Рис.1. График функции y(x)=b₀+b₁*x+b₂*x²

Как видно из графика, полином второй степени подходит для моделирования и прямых, и обратных зависимостей (т.к. есть и промежутки, на которых функция возрастает, и промежутки, на которых функция убывает), а также зависимостей с и с увеличивающейся, и с уменьшающейся скоростью роста и падения (т.к. порабола может быть и выпуклой, и вогнутой в зависимости от знака b₂).

28. Гиперболические модели

2.1.

Для линеаризации используется метод замены переменных: z=1/x (т.е. фактически вычисляется дополнительный столбец z по формуле z_i=1/x_i) и задача поиска регрессионных коэффициентов этой нелинейной модели сводится к задаче поиска регрессионных коэффициентов однофакторной линейной модели y=b₀+b₁*z+.

Графиком этой функции является гипербола (рис.2), имеюшая вертикальную асимптоту (x=0) и горизонтальную асимптоту (y=b₀). Как видно из графика, при x>0 рассматриваемая функция подходит для моделирования прямых зависимостей с уменьшающейся скоростью роста (если b₁<0, то имеем дело с монотонно возрастающей выпуклой функцией) и обратных зависимостей с уменьшающейся скоростью падения (если b₁>0, то имеем дело с убывающей вогнутой функцией).

Рис.2. График функции

2.2.

Для линеаризации используется метод замены переменных: z=1/y (т.е. фактически вычисляется дополнительный столбец z по формуле z_i=1/y_i) и задача поиска регрессионных коэффициентов этой нелинейной модели сводится к задаче поиска регрессионных коэффициентов однофакторной линейной модели z=b₀+b₁*x+.

Графиком этой функции является гипербола (см.рис.3), имеющая вертикальную асимптоту (x=-b₀/b₁) и горизонтальную асимптоту (y=0). Как видно из графика, при x>0 рассматриваемая функция подходит для моделирования прямых зависимостей как с уменьшающейся, так и с увеличивающейся скоростью роста (если b₁<0, то имеем дело с монотонно возрастающей функцией, имеющей один интервал вогнутости и один интервал выпуклости) и обратных зависимостей как с уменьшающейся, так и с увеличивающейся скоростью падения (если b₁>0, то имеем дело с убывающей функцией, имеющей один интервал вогнутости и один интервал выпуклости).

Рис3. График функции