Билет № 22.

Закон сохранения энергии и электромагнитная индукция. Правило Ленца.

В электродинамике закон сохранения энергии исторически формулируется в виде теоремы Пойнтинга (иногда также называемой теоремой Умова—Пойнтинга^[), связывающей плотность потока электромагнитной энергии с плотностью электромагнитной энергии и плотностью джоулевых потерь. В словесной форме теорема может быть сформулирована следующим образом:

Изменение электромагнитной энергии, заключённой в неком объёме, за некий интервал времени равно потоку электромагнитной энергии через поверхность, ограничивающую данный объём, и количеству тепловой энергии, выделившейся в данном объёме, взятой с обратным знаком.

Математически это выражается в виде (здесь и ниже в разделе использована Гауссова система единиц)

где   — некий объём,   — поверхность, ограничивающая этот объём,

 — плотность электромагнитной энергии,

 — вектор Пойнтинга,

 — плотность тока,   — напряжённость электрического поля,   — индукция электрического поля,   — напряжённость магнитного поля,   — индукция магнитного поля.

Этот же закон математически может быть записан в дифференциальной форме:

Если в постоянном магнитном поле перемещается проводник, то свободные электрические заряды внутри него тоже перемещаются (на них действует сила Лоренца). Положительные заряды концентрируются в одном конце проводника (провода), отрицательные - в другом. Возникает разность потенциалов - ЭДС электромагнитной индукции. Явление возникновения ЭДС индукции в проводнике, движущемся в постоянном магнитном поле, называется явлением электромагнитной индукции.

Правило определения направления индукционного тока (правило правой руки):

В проводнике, движущемся в магнитном поле, возникает ЭДС индукции, энергия тока в этом случае определяется по закону Джоуля-Ленца:

Работа внешней силы по перемещению проводника с током в магнитном поле

ЭДС индукции в контуре

Рассмотрим изменение магнитного потока через проводящий контур (катушку).

Закон электромагнитной индукции (закон Фарадея): ЭДС электромагнитной индукции, возникающая в контуре, прямо пропорциональна скорости изменения магнитного потока через него.

Знак "минус" является математическим выражением следующего правила. Направление индукционного тока, возникающего в контуре, определяется по правилу Ленца: возникающий в контуре индукционный ток имеет такое направление, что созданный им магнитный поток через площадь, ограниченную контуром, стремится компенсировать изменение магнитного потока, вызвавшее данный ток.

Билет № 23.

Вихревое электрическое поле. Циркуляция вектора напряженности электрического поля

Из закона Фарадея следует, что любое изменение сцепленного с контуром потока магнитной индукции приводит к возникновению э.д.с. В связи с этим Максвелл высказал гипотезу, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле, которое является причиной возникновения индукционного тока в контуре:

Подставив выражение для потока , получим:

Учитывая суперпозицию вектора напряженности поля и получим окончательное уравнение для циркуляции вектора напряженности поля:

Билет № 24.

Уравнения Максвелла для нестационарного электромагнитного поля. Смысл уравнений.

Это уравнение показывает, что источниками электрического поля могут быть не только электрические заряды

Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плотностью , то поток вектора электрического смещения будет равен полному заряду, который находится внутри пространства замкнутого поверхностью S.

Это уравнение показывает обратное первому уравнение явление. Магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися зарядами, либо переменными электрическими полями.

Это уравнение показывает, что линии магнитной индукции всегда замкнуты. Магнитных зарядов в пространстве нет.

Билет № 25.

Токи замыкания и размыкания электрической цепи с конденсатором и резистором.

Составляем уравнение для цепи. Согласно правилу Кирхгофа сумма падений напряжений на резисторе и конденсаторе равна э.д.с., действующему в цепи.

Решаем уравнение относительно Uc и пользуясь соотношениями (*) находим выражение для токов.

1. Ток замыкания

В момент времени t=0, =const;

Сделаем замену

Константу А найдем из начальных условий, в начальный момент времени t=0, Uc=0, отсюда:

2. Пусть теперь =0;

, где - значение напряжение оставшееся до размыкания.

Отсчет времени ведется с размыкания.

Билет № 26.

Токи замыкания и размыкания электрической цепи с индуктивностью и резистором.

1) Ток размыкания

Начальные условия:

Составляем уравнение для цепи. Согласно правилу Кирхгофа сумма падений напряжений на резисторе и катушке равна э.д.с., действующему в цепи.

3. Ток замыкания

Начальные условия:

Билет 27

Гармонические колебания. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Пример.

Гармоническими являются колебания, которые происходят под действием силы, пропорциональной смещению колеблющейся точки и направленной противоположно этому смещению.

Стандартная форма записи:

A >0

₀

ДУ гармонических колебаний

Примеры

1. 

2. 1)

2)

-з.с.э

Билет 28

Сложение колебаний одного направления с одинаковыми частотами

+

Билет 29

Сложение колебаний одного направления с разными частотами

+

Билет 30

Сложение взаимно-перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу.

Одной частоты:

Пример:

Разных частот:

Пример:

1. Синфазные колебания

2. Противофазные колебания

3. 

Фигуры Лисcaжу — замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях.

Мат. Выражение:

Если:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Билет № 31.

Затухающие колебания. Основные характеристики затухающих колебаний.

Xарактеристики затухающих колебаний:

1. –время через которое амплитуда убывает в раз

– время жизни затухающих колебаний

2. - число колебаний системы, совершенных за время

3. 

4. - логарифмический декремент затухания (величина обратная числу колебаний которое совершила система за )

5. Q – добротность-степень запаса в системе энергии

Билет № 32.

Вынужденные колебания. Амплитудно- частотная характеристика. Природа резонанса.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) — зависимость амплитуды выходного сигнала от частоты

Резонанс — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний которое наступает при приближении частоты внешнего воздействия к некоторым значениям (резонансным частотам), определяемым свойствами системы. 

Билет № 33.

Резонанс в радиотехнике. Резонанс напряжений. Резонанс токов.

Резонанс напряжений

Резонанс токов

Билет № 34.

Связанные колебания - собственные колебания в сложной системе, состоящей из связанных между собой простейших (парциальных) систем.

Особенности колебаний в связанных системах рассмотрим на примере двух математических или физических маятников, связанных между собой пружиной.

Свободный математический маятник, как известно, обладает двумя степенями свободы, то есть для описания его движения требуется два параметра – углы смещения в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Система из двух маятников описывается четырьмя параметрами и, следовательно, имеет четыре степени свободы. Если колебания, соответствующие каждой степени свободы, независимы, то задача описания движения является чисто кинематической, то есть задачей разложения сложного движения на сумму более простых движений. Если между движениями по различным степеням свободы имеется динамическая связь, при которой возбуждение одной степени свободы вызывает динамические изменения во всех остальных степенях свободы, то это приводит к обмену колебательной энергии между степенями свободы, приводя к новым физическим явлениям, отсутствующим у системы независимых маятников.

Как известно, для свободного математического маятника уравнение моментов будет

,     (1)

где J – момент инерции маятника, m, l – его масса и длина соответственно, α – угол отклонения от положения равновесия. В случае двух маятников, связанных пружиной, на каждый маятник будет действовать дополнительная сила со стороны пружины F_св, которая при небольших отклонениях может быть определена из закона Гука

F_св = kl₁(α₁ - α₂),

где l₁ – расстояние от точки крепления маятника до точки крепления пружины. Эта сила создает дополнительный момент, действующий на каждый из маятников. В этом случае уравнения движения маятников будут иметь вид

,     (2)

где учтено, что  . В общем случае уравнения колебаний в системе двух произвольных связанных маятников имеют вид

,    (3)

,    (4)

здесь x₁ , x₂ – отклонения маятников от положения равновесия, ω₀₁ , ω₀₂ – частоты собственных колебаний маятников (парциальные частоты), λ₁ , λ₂ – коэффициенты, определяющие величину связи между маятниками. Как следует из (2)-(4) для рассматриваемого случая.

.    (5)

Решение системы (3),(4) легко найти с помощью метода комплексных амплитуд, если предположить, что в ней можно возбудить гармонические колебания на некоторой частоте ω, причем

,

,   (6)

где   – комплексные амплитуды колебаний маятников. После подстановки (6) в (3), (4) получим

,   (7)

где ζ = x₂₀/x₁₀. Решением этой системы алгебраических уравнений являются

,   (8)

.   (9)

Здесь верхний знак перед корнем относится к ω₁ и ζ₁ , а нижний – к ω₂ и ζ₂ Общее решение системы (3), (4) имеет вид

,   (10)

,   (11)

где амплитуды и фазы A , B, ψ₁ , ψ₂ определяются начальными условиями, а частоты ω₁, ω₂ и коэффициенты ζ₁ , ζ₂ не зависят от начальных условий и определяются только свойствами колебательной системы. Для случая двух одинаковых связанных маятников из (9) следует ζ₁ = 1 , ζ₂ = -1 .

Таким образом, хотя в общем случае произвольное колебание маятников не является гармоническим, тем не менее его всегда можно представить в виде суммы двух гармонических колебаний с частотами ω₁ и ω₂. Эти колебания носят название нормальных колебаний (собственных колебаний системы), а частоты ω₁ и ω₂ – нормальных частот. Каждое нормальное колебание системы ( его называют также модой колебаний) является совокупностью колебаний обоих маятников, оно характеризуется частотой ω₁ или ω₂ , а также определенным соотношением между амплитудами колебаний каждого маятника (амплитуды отличаются соответственно в ζ₁или ζ₂ раз). Нормальные колебания можно выделить в любой колебательной системе, состоящей из произвольного числа маятников, если движение этой системы описывается системой уравнений типа (3), (4). В том случае, когда в системе возбуждено одно нормальное колебание, каждый маятник колеблется по гармоническому закону с частотой этого колебания, а амплитуды и фазы колебаний всех входящих в систему маятников однозначно связаны между собой.

НОРМАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ (нормальные моды) - собственные (свободные) гармонич. колебания линейных динамич. систем с пост. параметрами, в к-рых отсутствуют как потери, так и приток извне колебат. энергии. Каждое Н. к. характеризуется определ. значением частоты, с к-рой осциллируют все элементы системы, и формой - нормиров. распределением амплитуд и фаз по элементам системы. Линейно независимые Н. к., отличающиеся формой, но имеющие одну и ту же частоту, наз. вырожденными. Частоты Н. к. наз. собственными частотами системы.

В дискретных системах, состоящих из N связанных гармонич. осцилляторов (напр., механич. маятников, эл--магн. колебат. контуров), число Н. к. равно N. В распределённых системах (струна, мембрана, резонатор) существует бесконечное, но счётное множество Н. к. Совокупность Н. к. обладает свойством полноты в том смысле, что произвольное свободное движение колебат. системы может быть представлено в виде суперпозиции Н. к.; при этом полная энергия движения распадается на сумму парциальных энергий, запасённых в каждом Н. к. Т. о., система ведёт себя так, как набор автономных объектов - независимых гармонич. осцилляторов, к-рые могут быть выбраны в качестве обобщённых нормальных координат, описывающих движение в целом. Однако в дннамич. системах могут существовать и собств. движения, не сводящиеся к Н. к. (равномерные вращения, пост. токи и др.).

При внеш. возбуждении системы Н. к. в значит. мере определяют резонансные свойства системы, хотя, строго говоря, они перестают быть независимыми. Резонанс может возникнуть лишь в том случае, когда частота гармонич. внеш. воздействия близка к одной из собств. частот системы либо к их линейной комбинации, если внеш. воздействие меняет параметры системы (параметрический резонанс ).При резонансном возбуждении системы важным оказывается и распределение воздействия - макс. эффект достигается при соблюдении не только временного, но и "пространственного" синхронизма (см. Волны).

В линейных системах с переменными параметрами при выполнении определ. условий также возможно представление движений в виде суперпозиции Н. к., отличающихся, однако, от гармонических. Понятие Н. к. может быть приближённо распространено на системы, содержащие неконсерватнвные и нелинейные элементы, если их воздействие приводит к медленным изменениям амплитуд и фаз квазигармонич. Н. к. (в масштабе периода самих Н. к. или периода биений между ними).

Бие́ния — явление, возникающее при наложении двух периодических колебаний, например, гармонических, близких по частоте, выражающееся в периодическом уменьшении и увеличении амплитуды суммарного сигнала. Частота изменения амплитуды суммарного сигнала равна разности частот исходных сигналов.

Биения возникают от того, что один из двух сигналов линейно во времени отстаёт от другого по фазе, и, в те моменты, когда колебания происходят синфазно, суммарный сигнал оказывается максимален, а в те моменты, когда два сигнала оказываются в противофазе, они взаимно гасят друг друга. Эти моменты периодически сменяют друг друга по мере того, как нарастает отставание. Биения звука можно слышать при настройке музыкальных инструментов, например, струнных по камертону. Если частота струны незначительно отличается от частоты камертона, то слышно, что звук пульсирует — это и есть биения. Струну для настройки в унисон с камертоном нужно подтягивать или ослаблять так, чтобы частота биений уменьшалась. При совпадении высоты звука с эталонным биения полностью исчезают. Биения звука также можно услышать при игре на музыкальных инструментах, например пианино или гитаре, когда различной высоты звуки создают интервалы и многозвучия (аккорды). В современных аккордеонах и баянах (где нажатие на кнопку или клавишу вызывает извлечение ноты одной высоты с помощью трёх металлических язычков, колеблющихся под напором воздуха) два других язычка, при изготовлении инструмента, специально немного расстраивают по частоте относительно язычка, настроенного в унисон к ноте, чтобы получить характерное звучание инструмента, образующегося в результате эффекта биений. Эффект биений используется в электронике для вычитания частот сигналов. Например, в супергетеродинных радиоприёмниках биения между частотами гетеродина и принимаемого сигнала преобразуются в промежуточную частоту, сигнал которой далее усиливается.