23.Ознаки порівняння рядів. Приклади

Теорема. Якщо дано 2 ряди S^¥_n=1 a _n і S^¥ _n=1 b _n з додатніми членами і існує скінчена границя lim_n®¥ a_n / b _n= к>0, то обидва ряди одночасно є збіжними або розбіжними

Приклад:

Дослідити на збіжність ряд S^¥_n=1 sin 1/ n

Порівняємо даний ряд з гармонічним рядом {S^¥_n=1 1/n _; a _n = sin 1/n; ln = 1/n; lim _n®¥ a _n / b_n = lim _n®¥ sin 1/n / 1/n=1>0.

так як ряд є розбіжним то і даний ряд є розбіжний.

Питання про збіжність ряду

P_k (n) / Q _L (n) де P_k (n) і Q _L (n) многочлени степеня k і l відповідно. Можна вирішити порівнянням його з рядом S^¥_n=1 1 / n^¡ де ¡ = L - k

Приклад:

Дослідити на збіжність ряд S^¥_n=1 2 _n -1 / n ² k=1, l-2,¡= l - k = 2-1 =1, порівняємо з гармонічним рядом S^¥_n=1 1/n ; a _n = 2 _n- 1 / n ² , b _n = 1/n. lim _n®¥ a _n / b_n = lim _n®¥ 2 _n - 1 / n ² * n/ 1 = lim _n®¥ 2 _n- 1 / n = 2 >0. Оскільки гармонічний ряд розбіжний то і даний ряд є розбіжним.

24. Ознака Даламбера збіжності ряду.

Якщо в ряді з додатніми членами a₁+a₂+a₃+…+a_n+…(1) відношення (n+1)-го члена до n–го при n→∞ має скінченну границю ℓ, тобто lim =ℓ(2), то якщо:

1. ℓ<1 ряд збігається

2. ℓ>1 ряд розбігається

3. ℓ=1 відповіді на питання про збіжність ряду теорема не дає

1) ℓ<1, покажемо, що ряд є збіжним. Розглянемо число q, що задовольняє умову, тобто ℓ< q<1. Із означення границі і співвідношення(2) випливає, що для всіх n починаючи з деякого номера N, тобто при n≥N буде мати місце нерівність: < q(2’). Дійсно, так як величина →ℓ, то різниця між величиною і ℓ може бути зроблена(за абсолютною величиною) менше любого додатного числа, починаючи з деякого номера ℓ, зокрема менше q-ℓ. Тобто < q-ℓ. Із останньої нерівності випливає нерівність (2’). Запишемо нерівність (2’) для деякого значення n починаючи з номера N, матимемо:

Знайдемо суму лівої і правої частини нерівності: + + +…+a_N+k+…+a_N(q+q²+…+q^k+…). Так як 0<q<1, то ряд a_N(q+q²+…+q^k+…) є збіжним. Тоді ряд + + +…+a_N+k+…(3) також є збіжним за ознакою порівняння. Але ряд (3) одержаний із ряду (1) відкиданням скінченого числа членів, а отже, і ряд (1) є збіжним.

2) Нехай ℓ>1, покажемо, що ряд є розбіжним. Із рівності =ℓ, випливає, що починаючи з деякого номера N, що n≥N, будемо мати нерівність: >1, звідси випливає, що > для любого n≥N. А це означає, що члени ряду зростають починаючи з N+1, а тому загальний член ряду не прямує до 0, отже, ряд є розбіжним.

25. Радикальна ознака Коші збіжності ряду.Приклади.

Теорема: Якщо для ряду з додатними членами величина має скінченну границю при n→∞, тобто lim_n→∞ =ℓ, то якщо ℓ<1 ряд збігається, якщо ℓ>1 ряд розбігається і якщо ℓ=1, то питання про збіжність ряду залишається відкритим. Доведення. Нехай ℓ<1, покажемо що ряд є розбіжним. Розглянемо число q, таке що ℓ< q <1. Тоді матиме місце нерівність, яка справедлива для деякого номера починаючи з n=N, тобто: або a_n<qⁿ для деякого n≥N. Запишемо два ряди:

a₁+a₂+a₃+…+a_N+_N+1a_N+3+…(1) та q+q²+q³+…+q^N+q^N+1+…(1’). Ряд (1’) є збіжним, так як члени ряду є складною геометричною прогресією, а члени ряду (1), починаючи з a_N менше членів ряду (1’). Отже, ряд (1) збігається(за ознакою порівняння). Нехай ℓ>1, покажемо, що даний ряд є розбіжним. Дійсно починаючи з деякого номера n=N, будемо мати , тобто lim_n→∞a_n≠0. Необхідна умова збіжності ряду не виконується, отже ряд є розбіжний.