51. Числові характеристики неперервної випадкової величини, їх властивості.

До числ. характеристик вип. вел-н відносять: матем сподів М(х); дисперсію D(x); середнє квад відхил σ(х); моду m_o; медіану m_e; центральний момент µ_к; асиметрію A_s; ексцес E_s; початковий момент ν_к. Мат сподів вказує, який середній результат слід очікувати в результаті випробування або спостереження. Для н.в.в, можливі знач якої розташовані на всій числ осі мат сподів знах за формулою При умові, що даний інтеграл збігається абсолютно. Якщо ж він є розбіжним, то для н.в.в мат сподів не існує.. Якщо можливі знач н.в.в належать інтервалу (а;b), то мат сподів знах за формулою . Властивості мат сподів: 1) М(с) = с (c = const); 2) сталий множник можна виносити за знак мат сподів М(сх) = сМ(х); 3) мат сподів 2-х незал в.в = добутку їх мат сподівань М(ху) = М(х) М(у); 4) мат сподів суми 2-х в.в = сумі мат сподів цих вел-н М(х + у) = М(х) + М(у). Мат сподів М(х) числа появи п. А в n-незал випробуваннях = добутку числа випробувань на ймов появи п. А в кожному випробуванні: М(х) = np. Для оцінки того, як розсіяні можливі знач в.в навколо її мат сподів вводять таку числ характеристику, як дисперсія (розсіювання) D(x) – це мат сподів квадрата відхилення в.в від її мат сподів D(x) = M(x-M(x))². Для н.в.в, розподіл якої заданий у вигляді щільності ймовірностей f(x) дисперсію лбщислюють . Інколи для обчисл дисперсії застос таку формулу D(x) = M(x²) – M²(x). Властивості дисперсії: 1) D© = 0 (c=const); 2) D(cx) = c²D(x) (c=const); 3) дисперсія суми 2-х незал в.в = сумі дисперсій цих в-н D(x + y) = D(x) + D(y); 4) дисперсія різниці 2-х н.в.в = сумі їх дисперсій D(x – y) = D(x) + D(y). D(x) = npq, де n – число появи п. А; p – ймов появи п. А; q – ймов не появи п. А. Невід’ємне число σ(х) = наз середнім квадр відхил в.в х. D(x) і σ(х) є мірою розсіювання значень в.в навколо М(х). Модою н.в.в наз таке її знач, при якому щільність розподілу має максимум. Мода – це абсциса точки максимума кривої розподілу. Розподіли бувають двом-, багато-, антимодальні. Медіаною в.в х наз таке її знач, для якої справедлива рівність P(x<m_e) = P(x>m_e) = ½. Для н.в.в медіану можна знайти з рівності F(m_e) = ½. ; ; . Медіана – це абсциса точки, в якій площа обмежена кривою розподілу ділиться пополам. Початковим моментом ν_к порядку к .в.в х наз мат сподів вел Х^к, тобто ν_к = М(х^к). Для н.в.в . Центральним моментом µ_к порядка к в.в х наз мат сподів центрованої в.в в степені К, тобто . Для н.в.в . µ_к і ν_к пов’язані між собою певними співвідношеннями: µ₁=0; µ₂=ν₃-3ν₁ν₂ + 2ν³₁; µ₃= ν₃-3ν₁ν₂ + 2ν₁³; µ₄= ν₄- 4ν₃ν₁ + 6ν₁²ν₂-3ν₁⁴. Асиметрією теоретичного розподілу нах відношення центрального моменту 3-го порядку до кубу середнього квадратичного відхилення . Асиметрія показує чи симетричний розподіл відносно центра розподілу (мат сподів). Властивості: 1) якщо розподіл симетричний відносно мат сподів, то A_s=0; 2) якщо A_s>0, то довша частина кривої розподілу розташ справа від мат сподів; 3) якщо A_s<0, то довша частина кривої розподілу розташ зліва від мат сподів. Ексцес в.в х , де μ₄ – центральний момент 4-го порядку; σ⁴ – сер квадр відхил. Криві більш гостро вершинні в порівнянні з нормальною кривою мають E_x>0, а криві більш плосковерш мають E_x<0.