37. Частота і ймовірність події. Статист. І класичне означ. Ймовірності. Геом.. Ймовірність.

Статистичне:Відношення числа дослідів (m) , в яких подія А з”явилася до загального числа n проведених дослідів наз. частотою події А і позначається W(A) = .

При необмеженому зростанню n замічено стійкість частоти. Цю величину наз. статистичною ймовірністю. Зазначимо, що т.й. має справу тільки з статистично стійкими експериментами.

Класичний спосіб означення ймовірності базується на понятті. Ймовірністю Р(А) наз. відношення числа m елементарних подій, що сприяють появі події А, до загального числа n рівно можливих елементарних подій. Р(А)= .

Властивості :1.Ймовірність достовірної події = 1. тобто Р(u)= 1 2.Ймовірність неможливої події = 0. Тобто Р(v)=0 3.Ймовірність випадкової події є додатне число, що знаходиться між 0 і 1.

Геометрична ймовірність

При класичному визначенні ймовірності допускалося, що число елементарних подій є скінченою множиною. Проте на практиці часто зустрічаються випробування, у яких множина можливих наслідків нескінченність. Щоб уникнути недоліків класичного визначення ймовірності з статистичних експериментів з нескінченним числом наслідків вводять поняття геометричної ймовірності.

Нехай простір елементарних подій ( омега) утворює нескінченну неперервну сукупність, яку можна зобразити точками деякої області Q в n вимірному просторі. А випадкову подію А можна зобразити точками в області .

1) якщо n = 1, то q- відрізок прямої і

2) якщо n= 2 ,то q -є деяка область і

3) якщо n =3. то q- деякий об’єм і , де Vq- об’єм області q, VQ – об’єм області q.

38. Елементи комбінаторики. Перестановки. Розміщення і сполуки з n елементів по m.

Комбінаторика – це розділ математики який вивчає розташування об’єктів у відповідності із спеціальними правилами і методи підрахунку всіх можливих способів, котрима ці розташування мжуть бути зроблені.

При рішенні задач з т.й. , а також при складанні розкладу занять, розкладу руху автобусів, потягів, літаків і т.д. застосовують елементи комбінаторики. До них відносяться : перестановки, розміщення, сполучення.

Перестановками наз. групи з n елементів по n в кожній, які відрізняються порядком розташування елементів, а їх число визначається за формулою Pn=n!

Розміщеннями наз. групи з n елементів по m в кожній, які відрізняються хоч-би одним елементом або порядком розташування елементів, а їх число .

Сполученнями наз. групи із n елементів по m в кожній, які відрізняються хоч-би одним елементом, а їх число визначається за формулою .

39. Сума подій. Теорема про ймовірність суми несумісних подій. Теорема про ймовірність суми 2-х сумісних подій.

Сумою-А+В наз. Пдія яка полягає в тому що відбудеться принаймні одна з цих подій

Теорема. Ймовірність суми скінченного числа несумісних подій дорівнює

сумі ймовірностей цих подій, тобто

P(A1+A2+..+An)=P(A1)+P(A2)+…P(An)

Зокрема

P(A+B)=P(A)+P(B)

Доведення. Нехай А і В несумісні події в даному експерименті,

причому із n рівноможливих результатів m1 сприяють появі події А, а

m2 – сприяють появі події В, причому , m1 + m2 ≤ n тоді,

P(A)= ; P(B)= ;

Розглянемо подію С = А + В, тоді ( m1 + m2 ) результатів сприяють

появі події С

P(C)=P(A+B)= = + =P(A)+P(B).

Наслідок 1. Сума ймовірностей несумісних подій Ai (i =1, n), які

утворюють повну групу, дорівнює одиниці.

Наслідок 2. Сума ймовірностей двох протилежних подій дорів-

нює одиниці P(неA) + P(A) =1.

Теорема додавання ймовірностей сумісних подій.

Означення. Дві події називаються сумісними, якщо поява однієї з них не

виключає появи іншої в одному і тому ж випробуванні.

Наприклад, подія А – поява п’яти очок при підкиданні грального

кубика; подія В – поява непарного числа очок. Події А і В сумісні.

Нехай А і В сумісні, причому відомі ймовірності цих подій і ймо-

вірність їх сумісної появи. Як знайти ймовірність події АВ, яка поля-

гає в тому, що з’явиться хоча б одна з подій або А, або В, дає така

теорема.

Теорема. Ймовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій дорівнює

сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх сумісної появи:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А · В).

Доведення. Оскільки події А і В за умовою сумісні, то подія А + В

відбудеться, якщо відбудеться одна з таких трьох незалежних подій:

, B або АВ. За теоремою додавання ймовірностей несумісних подій

P(A + B) = P(A ) + P( B) + P(AB).

Подія А відбудеться, якщо відбудеться одна із двох несумісних

подій: A чи АВ. За теоремою додавання ймовірностей несумісних

подій маємо:

P(A) = P( B) + P(AB),

звідси

P(A ) = P(A) − P(AB).

Аналогічно маємо

P(B) = P( B) + P(AB),

звідси

P( B) = P(B) − P(AB).

Тоді

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB).

Зауваження. При використанні цієї теореми треба мати на увазі,

що події А і В можуть бути як незалежні, так і залежні.

Для незалежних подій:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

Для залежних подій:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А) · Р(В / А).

Якщо А і В несумісні, то

Р(АВ)= 0 і Р(А + В) = Р(А) + Р(В).