1. Означення функції декількох незалежних змінних. Геометричне зображення функції двох змінних.

Нехай x, y, z змінні величини, які розглядаються у взаємозв’язку у певному процесі. Причому x, y змінюються незалежно одне від одного і від змінної z. Нехай множина пар (x, y) утворюють множину D, яку називають областю змінних x і y.

Змінна величина z наз. функцією двох змінних (x, y) якщо кожній парі (x, y)ϵ D (із області D)поставимо у відповідність по певному правилу чи закону одне визначене значення z(z ϵ Е) із множини Е. z = f(x, y)

{ z = z(x, y) z = F(x, y) }

D – область визначень функції, Е – область значень.

Змінна величина U наз. функцією незалежних змінних х₁,х₂,…,х _n якщо кожній системі значень з даної області їх зміни відповідає одне єдине значення U і записують U = f(х₁,х₂,…,х _n).

Задати функцію двох змінних можна:

• Аналітично (формули)

• Графічно

• Таблиці з подвійним входом ( напр. таблиця множення)

Дано геометричне зображення ф-ції двох змінних z = f(x, y) розглянемо функцію, визначимо область D і систему координат OXYZ.

Нехай Р (x₀, y₀)ϵ. Кожна пара (x, y) геометрично визначає точку Р на площині OXY, а значення функції в цій точці є апліката z точки

М (x₀, y₀, z₀).

Геометричне місце точки М є деяка поверхня, яка взаємно однозначна проектується в область D на площину OXY. Ця поверхня є геометричним зображенням функції двох змінних.

Рис ======

2 У . Границя і неперервність функції 2-х змінних.

Нехай дано функції z = f(x;y) і область D ϵ OXY. Розглянемо деяку фіксовану точку, що належить D. Р₀=(x₀;y₀) ϵ D. В околі цієї точки візьмемо точку Р з координатами (x;y). Якщо_, то Р→ Р₀, що рівносильно тому що відстань │РР₀│→ 0, тобто │РР₀│= .

Число А наз. границею функції z = f(x;y) при Р→ Р₀ якщо для будь-якого досить малого додатного числа Ԑ > 0 існує досить мале додатнє число Ԑ) > 0 що для всіх точок (x;y) для яких відстань РР₀ > 0 що, але РР₀ < Ԑ) виконується нерівність │f(x;y) - А │< Ԑ.

Границя функції багатьох змінних має властивості аналогічні властивостям функції однієї змінної.

Функція z = f(x;y) наз. неперервною в точці (x₀;y₀) якщо вона визначається в околі цієї точки, а значить і в самій точці існує границя і дорівнює значенню функції в цій точці.

Функція z = f(x;y) наз. неперервною в області D якщо вона неперервна у кожній точці цієї області.

Як і для функції однієї змінної сума, різниця, добуток неперервних функцій є функція неперервна. Частка неперервних функцій є також неперервною функцією якщо знаменник відмінний від 0 (≠0).

3.Частинні прирости та частинні похідні функції декількох незалежних змінних.

Нехай задано функцію і точку (x;y)ϵ D.

Величина ∆_х z = (x+∆х; y) - f(x;y) наз. частковим приростом функції z за аргументом х.

Частковою похідною функції z = f(x;y) за аргументом х наз. скінченна границя відношення часткового приросту функції за аргументом х до приросту аргументу х, коли →0 і записують:

або z '_х , f '_х.

Аналогічно частковим приростом z = f(x;y) за аргументом у наз. величина

∆_у z = (x; y+∆у) - f(x;y)

Частковою похідною функції z = f(x;y) за аргументом у наз. скінченна границя відношення часткового приросту функції за аргументом у коли ∆у→ 0 і записують (z '_у , f '_у) .

При знаходженні часткових похідних користуються відомими правилами і формула диференційованої функції однієї змінної. Аналогічно додаються поняття часткових похідних функції трьох і більше змінних, однак слід пам’ятати, що в процесі знаходження часткових похідних змінною вважається лише один аргумент за яким знаходять похідну, а решта аргументів вважаються константами.