2. Уравнения Ома и Кирхгофа в матричной форме

Если в исследуемой сложной схеме содержатся параллельно включенные ветви, то для составления матриц соединений такие ветви необходимо заменить (объединить) одной эквивалентной ветвью.

В общем случае любая ветвь схемы кроме комплексного сопротивления (проводимости) может содержать источник ЭДС Е_к, источник тока J_к. Схема и граф обобщенной ветви показаны на рис.1а, б:

Ток ветви I_к, напряжение ветви U_к = ₁ - ₂.

Из потенциального уравнения ветви следуют:

- уравнения Ома для к-ой ветви.

Для всех «m» ветвей составим систему уравнений по этой форме:

Заменим полученную систему из «m» уравнений матричной формой. Для этой цели введем следующие обозначения матриц:

- столбцовые матрицы соответственно напряжений, токов, источников тока и источников ЭДС.

- диагональные матрицы соответственно сопротивлений и проводимостей.

;

Уравнения Ома в матричной форме получат вид:

Уравнения Кирхгофа в обычной форме имеют вид: - первый закон Кирхгофа для узлов, - второй закон Кирхгофа для контуров.

Система уравнений Кирхгофа в матричной форме получается через матрицы соединений и :

Составленная система уравнений содержит “m” неизвестных токов и “m” неизвестных напряжений, всего 2“m” неизвестных, и непосредственно не может быть решена.

Сделаем подстановку матрицы из матричных уравнений закона Ома, получим:

- “m” уравнений Кирхгофа для токов в матричной форме.

Для сравнения приведем теже уравнения в обычной форме:

С

- “m” уравнений Кирхгофа для напряжений в матричной форме.

делаем подстановку матрицы из матричного уравнения закона Ома, получим:

Для сравнения приведем теже уравнения в обычной форме:

3. Контурные уравнения в матричной форме

Вводим понятия контурных токов I_к . Контурные токи замыкаются по контурам-ячейкам графа, именуются по имени хорды, их направление совпадает с направлением хорды. Столбовая матрица контурных токов:

Действительные токи связаны с контурными через матрицу :

Заменим в уравнениях 2-го закона Кирхгофа действительные токи [I] на контурные согласно формуле:

- система контурных уравнений в матричной форме.

Введем обозначения:

-матрица контурных сопротивлений

- матрица контурных ЭДС

- система контурных уравнений в обобщенной матричной форме.

4. Узловые уравнения в матричной форме

Вводим понятие узловых потенциалов _у. Потенциал последнего n-го узла, для которого отсутствует строка в матрице [A] принимается равным 0. Столбовая матрица узловых потенциалов :

Напряжения ветвей связаны с потенциалами узлов через матрицу .

Подставим в уравнения 1-го закона Кирхгофа , получим:

Введем обозначения:

 матрица узловых проводимостей

- матрица узловых токов.

 система узловых уравнений в обобщенной матричной форме.