5.4. Оценка погрешностей результатов измерений

Среднее арифметическое результатов N измерений

, (5.1)

где X_i – результат отдельного измерения в ряду измерений.

Абсолютную погрешность измерения выражают в единицах измеряемой величины

,

где X – результат измерения;

– истинное значение измеряемой величины.

Относительную погрешность измерений выражают отношением абсолютной погрешности измерения к действительному значению измеряемой величины

.

При равноточных измерениях за действительное значение принимают среднее арифметическое из ряда значений величин. Относительная погрешность более полно характеризует качество измерений и измерительных приборов, чем абсолютная. Например, при одинаковой абсолютной погрешности В результат В измерен точнее, чем В, так как в первом случае относительная погрешность в десять раз меньше, чем во втором .

Средняя квадратическая погрешность (СКП) единичного измерения является обобщенной характеристикой рассеяния результатов, полученных в ряду независимых равноточных (одинаково точных и не зависимых от систематической погрешности) измерений, вследствие влияния случайных погрешностей. Поскольку случайные погрешности равновероятны по знаку, перед числовым значением СКП целесообразно ставить знак “±”. В литературе встречаются также другие названия для : средняя квадратичная погрешность, стандартная погрешность или просто стандарт, средняя квадратическая ошибка измерения и др. Квадрат величины называется дисперсией ошибки .

СКП единичного измерения:

; (5.2)

чтобы при обработке результатов не запоминать все значения X_i выражение (5.2) следует преобразовать

. (5.3)

Если для обработки значений X_i средняя квадратическая погрешность мала ( ), то расчет по формулам (5.1) – (5.3) может привести к чрезмерным операционным погрешностям. Их можно избежать, вычитая из вводимых значений X_i­ число b, близкое к ожидаемому среднему. Удобно принять это число равным первому результату измерения b = X₁, в этом случае расчетные соотношения принимают следующий вид:

; (5.4)

. (5.5)

После преобразования формулы (5.5) получим

. (5.6)

Средняя квадратическая погрешность результата измерений (среднего арифметического) характеризует случайную погрешность среднего арифметического значения результата измерений. СКП среднего арифметического в раз меньше СКП единичного измерения

.

Вероятность того, что погрешность не выйдет за установленные пределы называется доверительной вероятностью. Величина доверительной вероятности задается на основании степени ответственности измерений, разумного сочетания точности и экономичности и других общих соображений. В частности, в радиотехнике принимают доверительную вероятность 0,9973, которая при нормальном распределении соответствует погрешности (так называемое правило трех сигм).

Вычисление предельной погрешности среднего арифметического по правилу трех сигм правомерно при большом числе измерений, когда оценка для средней квадратичной ошибки среднего арифметического близка к точному ее значению, однако проведение большого числа испытаний отнимает много времени и требует высокой стабильности условий эксперимента. В радиотехнике, где работа аппаратуры зависит от питающих напряжений, температуры, наличия помех, вибраций и других факторов, трудно обеспечить длительное постоянство условий эксперимента и поэтому приходится ограничиться небольшим числом измерений (5…10).

Распределение ошибок среднего арифметического при малом числе измерений было исследовано Госсетом (1908 г.), который публиковал свои работы под псевдонимом «Стьюдент».

Доверительный интервал погрешности результата измерений – это интервал значений случайной погрешности, внутри которого с заданной вероятностью находится искомое (истинное) значение погрешности результата измерений. В случае нормального закона распределения доверительный интервал определяется зоной, равной для каждого измерения и – для результата измерения как среднего арифметического, где t – коэффициент Стьюдента.

Доверительные границы погрешности результата измерений являются верхней и нижней границей доверительного интервала. При симметричных границах можно использовать единственное число – "доверительная граница".

Оценить истинное значение А измеряемой величины это значит:

• экспериментальным путем найти действительное значение величины ;

• указать доверительные границы погрешности результата измерений .

При однократном измерении погрешность измерения оценивают на основании известных погрешностей средства и метода измерений. Например, при однократном измерении напряжения U получено значение величины, равное 9,47 В. При этом еще до измерения известно, что погрешность вольтметра в данном диапазоне составляет ±20 мВ, а погрешность метода (непосредственной оценки) в данном случае равна нулю. Следовательно, погрешность полученного результата будет равна ±20 мВ. В конечном итоге можно записать U=(9,47±0,02)B.

Для оценки истинного значения А измеряемой величины для N равноточных измерений из результатов измерений исключают грубые и систематические погрешности. Случайная погрешность измерений распределена по нормальному закону. Результат измерений представляют в следующем виде:

, (5.7)

где t – коэффициент Стьюдента (см. табл. 5.1), который зависит от количества измерений N и доверительной вероятности .

Таблица 5.1

Коэффициенты Стьюдента

N	= 0,90	= 0,95	= 0,98	= 0,990	= 0,999
5	2,132	2,776	3,747	4,604	8,610
б	2,015	2,571	3,365	4,032	6,859
7	1,943	2,447	3,143	3,707	5,959
8	1,895	2,365	2,998	3,499	5,405
9	1,860	2,306	2,896	3,355	5,041
10	1,833	2,262	2,821	3,250	4,781
12	1,795	2,201	2,718	3,106	4,487
15	1,761	2,145	2,624	2,977	4,140
21	1,725	2,086	2,528	2,845	3,850
30	1,695	2,040	2,452	2,745	3,635
50	1,675	2,007	2,400	2,675	3,495
100	1,660	1,934	2,364	2,626	3,390
∞	1,645	1,960	2,326	2,576	3,291