5. Математическая обработка экспериментальных данных

5.1. Необходимая точность измерений и расчетов

Недостатки математического образования

с наибольшей отчетливостью проявляются

в чрезмерной точности численных расчетов.

Карл Фридрих Гаусс

Основная задача техники измерений заключается в выявлении и преодолении погрешностей. По мере совершен-ствования измерительной техники результаты измерений становятся все более и более достоверными. Эта тенденция играет весьма прогрессивную роль в развитии науки. Однако, чем выше точность, тем труднее проводить измерения и тем дороже обходятся измерительные приборы. Поэтому не следует увлекаться получением точности более высокой, чем требуется для решения поставленной задачи. Например, если при градуировке шкалы настройки радиовещательного приемника достаточно установить частоту измерительного генератора с точностью до 1% по его шкале, то для контроля частоты радиовещательных станций нужна точность в 0,00001%, которую может обеспечить только сложный и дорогой частотомер.

Современные ЭВМ позволяют выполнять расчеты с очень высокой точностью. Однако точность выполняемых расчетов должна быть в разумных пределах. Очень часто студенты добивается при вычислениях получения такой точности результата, которая совершенно не оправдывается точностью использованных данных. Это создает иллюзию точного расчета, приводит к бесполезным затратам труда и времени. Например, при расчете электронного режима, как правило, вполне допустима погрешность вычислений порядка 1%, поскольку погрешности, обусловленные самой методикой расчета, разбросом параметров активных и пассивных элементов и т.п., составляют 5…20%. Соответственно, с разумной точностью следует производить и регистрацию данных экспериментальных исследований. "Цель расчетов - не числа, а понимание" – этот афоризм особенно справедлив для высшей школы.

5.2. Классификация погрешностей измерений

Числовое значение физической величины получают в результате ее измерения или вычислением путем сравнения ее с другой величиной того же рода, принятой за единицу.

Истинное значение физической величины А может быть получено только в результате бесконечного процесса измерений с бесконечным совершенствованием методов и средств измерений.

Действительное значение физической величины определяют экспериментальным путем. Оно настолько близко к истинному значению, что для поставленной измерительной задачи может его заменить. При равноточных измерениях за действительное значение принимают среднее арифметическое из ряда значений величин . При неограниченном увеличении числа измерений и в отсутствии систематических погрешностей среднее арифметическое стремится к истинному значению измеряемой величины.

Погрешностью результата измерения называют отклонение результата измерения X от действительного (истинного) значения А измеряемой величины

.

Погрешности по характеру их проявления можно разделить на три группы: промахи, систематические погрешности, случайные погрешности.

Промах – это погрешность, значение которой сильно отличается от результатов остальных измерений. Промахи возникают вследствие нарушения основных условий измерения или в результате недосмотра экспериментатора (например, грубая ошибка в отсчете по шкале, неверная запись результата, неправильная настройка прибора и т.п.). Внешним признаком промаха является его резкое отличие от результатов остальных измерений. Обычно промахом считают погрешность, превышавшую 3 , где - средняя квадратическая погрешность, подсчитанная без учета промаха. При обнаружении промаха результат измерения следует сразу отбросить, а само измерение повторить. Самый эффективный способ браковки неверных результатов – в процессе измерений.

Систематическими называют погрешности, величина которых при неизменных условиях эксперимента остается постоянной или же закономерно изменяется при повторении одних и тех же измерений. В зависимости от причин появления систематические погрешности подразделяются на погрешности метода измерений, субъективные и погрешности вследствие отклонения условий измерения от установленных. При наличии систематических погрешностей их исключают из результатов измерения. Лучшим способом выявления систематических погрешностей является измерение величины приборами, различными по принципам действия и способам измерений.

Случайная погрешность измерения - это составляющая погрешности результата измерения, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) в серии повторных измерений, проведенных с одинаковой тщательностью. Случайные погрешности представляют собой погрешности, в появлении каждой из которых не наблюдается какой-либо закономерности. Случайные погрешности неизбежны и неустранимы и всегда присутствуют в результате измерения. Появление случайных погрешностей позволяет судить о качестве измерений: если случайные погрешности в данном опыте не наблюдаются, то это свидетельствует о недостаточной чувствительности метода, если же случайные погрешности велики, значит точность измерений низка.

Если классифицировать погрешности по признаку их происхождения, то можно выделить следующие две группы погрешностей: аппаратурные (инструментальные), возникающие из-за неточности измерительных приборов, и методические, обусловленные недостатками методики измерения.

Инструментальная погрешность измерительного прибора складывается из основной и дополнительных.

Основной называется погрешность, появляющаяся при пользовании прибором в так называемых нормальных условиях, при которых обычно производится градуировка приборов. Основная погрешность возникает в приборе вследствие несовершенства конструкции его механических элементов и узлов, разброса и нестабильности параметров электрических и радиотехнических деталей, радиоламп, полупроводниковых диодов, транзисторов и других элементов схемы, нестабильности питающих напряжений, флуктуаций, погрешностей градуировки и регулировки и т. п. Как правило, основная погрешность является случайной и имеет нормальное распределение.

Дополнительные погрешности возникают при отклонении условий работы прибора от нормальных (например, температурная погрешность, погрешность от изменения влажности, атмосферного давления) или от изменения некоторых параметров измеряемой величины (например, частотная погрешность, погрешность от изменения скважности измеряемого напряжения, от изменения формы кривой напряжения). Дополнительные погрешности являются систематическими и выражаются в процентах от измеряемой величины.

Методические погрешности часто возникают из-за неполного учета свойств исследуемого явления, несовершенства методов измерения или при применении эмпирических формул, дающих слишком грубое приближение. Так, к существенной погрешности могут привести: влияние побочных параметров объекта измерения (например, собственной емкости катушки при измерении ее индуктивности или добротности), некоторая неопределенность объекта (индуктивность неэкранированной катушки изменяется, если ее располагать на разных расстояниях от металлической поверхности), непостоянство измеряемой величины в процессе измерения, реакция, вносимая измерительным прибором в исследуемую цепь, влияние соединительных проводников. Методические погрешности относятся к систематическим и могут быть устранены изменением метода измерения или введением поправок.