9.7. Математические методы в управлении роботами и гпс

В процессе работы системам управления роботами и ГПС часто приходится решать множество разнооб­разных задач выбора оптимального варианта выпол­нения заданных работ. Такие задачи относятся к за­дачам математического программирования, о которых говорилось в конце подглавы 8.1.

Рассмотрим задачу оптимальной переналадки обо­рудования. Пусть имеется один станок (аппарат, ма­шина), которая может выполнять несколько различ­ных видов работ. Пусть время переналадки а_ij при пе­реходе от работ i-го к работе j-го вида работ является различным, то есть зависит от очередности выполнения. Величина а_ij, соответствующая переходу станка от работы i к работе j, в общем случае не равна вели­чине а_ji, таким образом, например, время а₃₁ необхо­димое для переналадки с работы 3 на работу 1, не равно времени, необходимому для переналадки стан­ка с работы 1 на работу 3. При этом предполагается, что время перехода на одинаковую работу равно нулю.

Пусть, например, в одном аппарате должно изгото­виться несколько видов краски. Пусть время (в ча­сах), необходимое для очистки аппарата после изготовления одного вида краски при подготовке к изготовлению другого вида краски, задано табл. 9.1.

Таблица 9.1 - Время подготовки аппарата

Предыдущая краска	Последующая краска
	Белая	Синяя	Красная	Голубая
Белая	-	3	4	5
Синяя	4	-	7	5
Красная	8	6	-	7
Голубая	5	3	5	-

Например, для очистки аппарата для изготовления красной краски после изготовления голубой краски требуется 7 часов. Если изготовление красок идет цик­лически и последней изготавливаемой краской была белая, то возможно шесть вариантов переналадки аппарата, которые приведены в табл. 9.2. Из табли­цы 9.2 видно, что наилучшим является 3-й вариант.

Таблица 9.2 - Сроки переналадки аппарата

1 белая - синяя - красная - голубая - белая 3 + 7 + 7 + 7 = 22 ч.

2 белая - синяя - голубая - красная - белая 3 + 5 + 5 + 7 = 20 ч.

3 белая – красная - голубая - синяя - белая 4 + 7+ 3 + 4 = 18 ч.

4 белая - красная - синяя - голубая - белая 4 + 6 + 5 + 5 = 20 ч.

5 белая - голубая - синяя - красная - белая 5+ 3 + 7 + 8 = 23 ч.

6 белая - голубая - красная - синяя - белая 5 + 5 + 6 + 4 = 20 ч.

Рассмотренная задача является частным случаем задачи, которая носит название - задача коммивоя­жера. Задача коммивояжера формулируется так. Имеется п + 1 городов и заданы расстояния между ними с_ij. Выезжая из одного города (обозначаемого индексом 0), коммивояжер должен побывать в каж­дом городе по одному разу и вернуться в город 0. Тре­буется определить порядок, в котором следует объез­жать города, чтобы суммарное расстояние было ми­нимальным.

Введем переменные x_ij:

Тогда рассматриваемая задача сведется к следующей:

где i =1,2,...,п; j=1,2,...,п; х_ij - целые числа. Задача коммивояжера является задачей целочислен­ного программирования.

Другим примером задачи целочисленного програм­мирования является задача о назначении. Имеется п видов работ и п кандидатов на выполнение работы, например, n видов промышленных роботов. Назначе­ние робота i-гo вида на j-ю работу вызывает затраты с_ij; требуется определить наилучшее с точки зрения минимума суммы затрат распределение роботов по работам. Как и задача о коммивояжере, эта задача представляет перестановку (р₁, р₂, ...,р_n) чисел (1,2,...,n). Каждое назначение одного i-гo робота для выполнения p_i работы описывается соответствием i→p_i. Требуется определить перестановку , при которой .

Общее количество возможных перестановок равно 1·2·3· ...· (п - 1)n=n! Используя целочисленные переменные

сведем задачу о назначении к задаче целочисленного программирования

где x_ij - целые.

Существует большое количество алгоритмов реше­ния задач целочисленного программирования, напри­мер, метод Гомори, метод ветвей и границ и ряд дру­гих.

135