5.5. Критерии устойчивости

Анализ устойчивости линейных систем автоматиче­ского управления может быть произведен путем пря­мого отыскания корней характеристического уравне­ния, например, на ЭВМ. Но задача облегчается тем, что нет необходимости находить значения корней, поскольку для суждения об устойчивости системы требуется лишь наличие у этих корней отрицательной вещественной части. Насколько это упрощает задачу, позволяет судить, например, следующая теорема.

Теорема 5.5.1. Необходимым (но не достаточ­ным) условием устойчивости системы является стро­гая положительность всех коэффициентов характери­стического уравнения, то есть

a_j >0 (j = 0, 1,…n). (5.5.1)

Доказательство. Пусть р_j=-σ_j ± iω_j (j=1, 2, ..., т) - комплексные корни (ω_j≠0), a p_k=-у_k (k=1, 2, . . . , q)- действительные корни характеристического уравнения. В силу требования устойчивости системы имеем σ_j > 0, y_k > 0 - Обозна­чим через μ_j (j=1,2.....m) кратность корня p_j=-σ_j + iω_j; тогда, так как коэффициенты характе­ристического уравнения действительны, то сопряженный корень имеет ту же кратность μ_j.

Пусть кратность действительного корня γ_k (k=1,2,...,q) есть η_k. Очевидно,

Пользуясь известным разложением

(5.5.2)

или

(5.5.3)

и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной в правой и левой частях тождества (5.5.2), получаем, что все коэффициенты а₀, а₁, ..., а_п имеют одинаковые знаки. А так как всегда можно считать, что а₀ > 0, то а₁>0, а₂ > 0, ..., а_п > 0. Теорема доказана.

Полином D(p) степени n ≥ 1 называется полино­мом Гурвица, если все его корни р1, . . . , р_п удовлетво­ряют условию Re p_d < 0 (d = 1, 2, . . . , n) , то есть когда все корни р_d расположены в левой комплексной полу­плоскости.

Согласно определению условие устойчивости ли­нейной САУ можно переформулировать следующим образом: линейная САУ устойчива в том и только том случае, если полином, стоящий в левой части характеристического уравнения, есть полином Гурвица.

Заметим, что полином с вещественными коэффи­циентами a_d (d= 0,1, ..., n) при условии а_п >0, а₀ ≠ 0 называется стандартным полиномом степени п (п ≥ 1). Требование а_п > 0, очевидно, означает от­сутствие нулевых корней в полиноме.

Критериями устойчивости называются условия, по которым можно судить об отрицательности вещест­венных частей корней, не вычисляя их значений. Су­ществует довольно много критериев устойчивости, ко­торые делятся на две группы: алгебраические и частотные критерии. Ясно, что математически все кри­терии устойчивости эквивалентны, так как отвечают на один и тот же вопрос. Практический выбор того или иного критерия определяется характером задачи и имеющимися вычислительными средствами.

5.6. Алгебраические критерии устойчивости

Алгебраические критерии устойчивости были раз­работаны независимо друг от друга английским мате­матиком Раусом (1877г.) и швейцарским математи­ком Гурвицем (1885 г.). Эти критерии связаны между собой и при анализе устойчивости приводят к одним и тем же алгебраическим неравенствам. Как будет видно из дальнейшего, эти критерии устойчивости раз­личаются процессом вычислений. Если критерий Гур­вица имеет замкнутую форму, то критерий Рауса задается алгоритмически. Поэтому до появления циф­ровых вычислительных машин преимущественно при­менялся критерий Гурвица. В настоящее время более широко используется критерий Рауса, так как его ал­горитмическая форма очень удобна для программирования, а объем вычислений при высоких порядках уравнения меньше, чем при использовании критерия Гурвица.

Помимо вышеупомянутых существуют другие раз­личные алгебраические критерии. Их рассмотрение можно найти в специальной литературе.

Критерий Гурвица. Пусть дано характери­стическое уравнение системы

(5.6.1)

Составим определитель Гурвица из коэффициентов уравнения (5.4.1):

(5.6.2)

Алгоритм составления определителя ясен из его структуры. По главной диагонали последовательно за­писываются п коэффициентов характеристического уравнения, начиная с а₁. Столбцы определителя, начиная от элементов главной диагонали, заполняются вверх по возрастающим индексам, вниз - по убывающим. Коэффициенты с индексом меньше нуля или больше п заменяются нулями.

Теорема 5.6.1. Для того чтобы стандартный по­лином являлся полиномом Гурвица, необходимо и до­статочно, чтобы были положительны все главные диа­гональные миноры определителя Гурвица:

a₁= a₁>0, (5.6.3)

Доказательство этой теоремы довольно громоздко. Основывается оно на методе математической индук­ции.

Пример 5.6.1. Пусть передаточная функция системы в ра­зомкнутом состоянии

Определить устойчивость замкнутой системы.

Согласно (3.2.6) передаточная функция замкнутой системы

Следовательно, характеристическое уравнение имеет вид

а условия устойчивости (5.6.3) для этой системы - вид T₂T₂>0, Т₁ + T₂ >0,

то есть k > 0. Следовательно, так как Т₁ > 0, Т₂ > 0, k > 0, то из условия Δ₂>0 предельная величина коэффициента усиления k_пр=(Т₁+Т₂)/Т₁Т₂.

Критерий Рауса. Этот критерий в настоящее время реализован практически на большинстве совре­менных ЭВМ в виде стандартного программного па­кета. Поэтому интересующихся этим критерием отсы­лаем к соответствующей литературе.