8.2. Начала вариационного исчисления

В июньском номере первого научного журнала «Акта Эрудиториум» за 1696 год была помещена за­метка знаменитого Иоганна Бернулли - «Новая задача, к решению которой приглашаются математики», ставшая отправной вехой развития вариационного ис­числения. Эта задача, ко­торую обычно называют задачей о брахистохроне (по-гречески - наибыстрей­шей), заключается в следу­ющем: между точками Р₀ и Р₁ (рис. 8.1) провести кривую таким образом, чтобы время падения тела, движущегося без трения по кривой Р₀μР₁ под дей­ствием силы тяжести, было минимальным.

Формализация этой задачи следующая:

(8.2.1) y(0)=0, y(x₁)=y₁. (8.2.2)

Рисунок 8.1

Обратите внимание, что в этой задаче разыскивается, в отличие от предыдущего раздела, не точка или мно­жество точек, в которых функция достигает экстре­мума, а некая функция (в данном случае некая кри­вая), на которой J(y(x)) достигает экстремума.

Выражение ](у(х}), задаваемое формулой (8.2.1), является типичным примером, иллюстрирующим понятие функционала. Функционалом называется функция, определенная на некотором множестве функций. Haпример, интеграл ; max ψ(x) при х [а, b]; и так далее. Иногда говорят, что функционал есть функция бесконечного числа переменных. Так же, как и обычная функция, функционал имеет об­ласть определения. Такой областью, например, может быть совокупность (в математике чаще говорят - про­странство или класс) всех непрерывных функций на отрезке [а, b]. Это пространство обозначают С°([а, b]). Другая область - пространство С¹([а, b]), с ко­торым на протяжении двух веков имеет дело вариа­ционное исчисление: С¹([а, b]) - это пространство непрерывно дифференцируемых на отрезке [а, b] функций.

Заметим, что весьма существенно, в каком классе (пространстве) ищется экстремум. Так, он может су­ществовать в одном классе и не существовать в дру­гом. Очевидно, что для определения понятия локаль­ного экстремума функционала необходимо ввести «меру близости» функций в рассматриваемых нами пространствах C°([d, b]) и С¹([а, b]). Аналогом расстояния между двумя функциями в каждом из рассматриваемых классов является норма разности этих функций. Понятие нормы в этих пространствах определяется следующим образом:

(8.2.3)

(8.2.4)

Используя понятие нормы, определим локальный экстремум по аналогии с определением 8.1.2.

Определение 8.2.1. Функция доставляет локальный максимум (минимум) функционалу J(y), если можно указать такое ε >0, что для всех функ­ций, принадлежащих классу С¹([а, b]), при выпол­нении неравенства

(8.2.5)

выполняется неравенство

(8.2.6)

Аналогично тому, как это делают в случае функ­ций, число J( ) называют наибольшим (абсолютный максимум) или наименьшим (абсолютный минимум) значением функционала, если

(8.2.7)

для любых у(х) С¹([а, b]).

8.2.1. Простейшая задача вариационного исчисле­ния (задача Лагранжа). Обобщением задачи о брахи­стохроне является

Задача Лагранжа: найти функцию х(t) С¹([0,Т]), удовлетворяющую граничным условиям

х(0)=х₀, х(Т) = x₁, (8.2.8)

которая минимизирует функционал вида

(8.2.9)

Прежде чем перейти к решению этой задачи, сде­лаем два замечания. Во-первых, все приводимые ниже выкладки легко обобщаются на случай, когда x(t) - не скалярная, а векторная функция. Во-вторых, эту задачу можно интерпретировать с точки зрения авто­матического управления, как выбор некой программ­ной траектории, минимизирующей затраты (например, топлива) при переводе объекта управления из началь­ного состояния в фазовом пространстве Х(0)=Х₀ в заданное конечное состояние Х(Т)=Х₁ (например, вывод спутника на заданную траекторию).

Повторим путь, проторенный Лагранжем. Допу­стим, что функция F(t,x,у) в (8.2.9) (положим, (t)=y) непрерывно дифференцируема, а функционал J(х) достигает локального минимума на непре­рывно дифференцируемой кривой x(t). Возьмем теперь вариацию (t), то есть возьмем любую непрерывно дифференцируемую кривую x(t), которая обращается в нуль на концах:

х(0)= х(Т)=0. (8.2.10)

Тогда вариация (t), то есть добавка к (t) функции x(t), умноженной на любое число λ, не выводит нас из граничных условий (8.2.8).

Исходя из сделанных выше предположений, функ­ция одного переменного

(8.2.11)

имеет локальный минимум в нуле, и, следовательно, для нее должна выполняться теорема Ферма, то есть

ψ'(0)=0. (8.2.12)

В курсах математического анализа доказывается, что в сделанных выше предположениях при нахожде­нии ψ΄(λ) возможно дифференцирование по λ под знаком интеграла. Таким образом, имеем

(8.2.13)

Проинтегрировав второй член в (8.2.13) по частям с учетом (8.2.10), получим

(8.2.14)

Уравнение (8.2.14) должно выполняться при лю­бой вариации x(t), что возможно лишь при выполне­нии условия

(8.2.15)

Это необходимое условие локального экстремума функционала J(x) называется уравнением Эйлера-Лагранжа. Его допустимые решения называются экс­тремалями. Экстремали в некотором смысле анало­гичны стационарным точкам при нахождении экстре­мума функции.

Обобщением уравнения (8.2.15), в случае если F=F(t,X,X'), где X={x₁(t), ..., x_n(t)}, будет си­стема из п уравнений вида

(i=1,2,…,n) (8.2.15a)

Если в уравнении (8.2.15) сделать замены

и ввести функцию H=ψ∙U - F(t, X, U), то из урав­нения (8.2.15) и сделанных замен имеем

(8.2.16)

Такое преобразование можем проделать и в слу­чае, когда рассматривается задача Лагранжа от век­тор-функции X(t)={x₁(t),x₂(t),..., x_n(t)}. Форма­лизация этой задачи по аналогии с (8.2.8) и (8.2.9) следующая. Найти вектор-функцию X(t){x_i(t) С¹([0, Т]) (i=1,2,..., п)}, удовлетворяющую граничным условиям

x_i(0)= x_0i, x_iT= x_Ti (i=1,2,...,n) (8.2.8a)

и минимизирующую функционал

(8.2.9a)

или

(8.2.9б)

где U= dX/dt. Функция

где ψ(t)={ψ₁(t),ψ₂(t),...,ψ_n(t)} - некоторая век­тор-функция, заданная на отрезке [0, Т], называется функцией Гамильтона для задачи (8.2.8), (8.2.9).

Как вытекает из вышеизложенного, необходимое условие достижения минимума функционала J(X(t)) может быть сформулировано следующим образом. Пусть функция F(t,X,U) непрерывно дифференци­руема, как функция своих аргументов. Если непрерывно дифференцируемая вектор-функция (t) яв­ляется решением задачи, то существует непрерывная вектор-функция такая, что паpa (t), (t) удовлетворяет следующим условиям:

(j=1, 2,...,n).

Пример 8.2.1. Задача о брахистохроне. Прежде чем применить уравнение Эйлера-Лагранжа к функционалу (8.2.1), заметим, что исследуемый функционал не зависит явно от t. Эта особенность позволяет упростить нахождение экстре­мали уравнения (8.2.15). Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что в этом случае выполняется соотношение F=х'дF/дх'=c, где с - произвольная постоянная, называемая первым интегралом. Из (8.2.16) для рассматриваемого примера получим

откуда у=(1+(y')²)=1/с². Для решения этого уравнения делаем подстановку

тогда

Интегрируя последнее соотношение, находим

Из первого условия (8.2.2) имеем с₁=0, а из второго усло­вия получим трансцендентное уравнение для нахождения с.

Однако проще найти нужную брахистохрону геометрически. Для этого достаточно обратить внимание на то, что

есть уравнение циклоиды. Отметим, что, во-первых, все циклоиды гомотетичны (подобны), а во-вторых, выпуклы. Следовательно, можно взять любую из них, имеющую точку Р₀(0,0) своей ле­вой вершиной (рис. 8.1), соединить точку Р₀ с точкой Р₁ пря­мой, которая пересечет построенную циклоиду в точке В, а за­тем преобразовать с коэффициентом подобия |Р₀В|/|РоР₁|.