3. Методы исследования линейных сау

Линейные САУ занимают особое место в теории автоматического управления. Обусловлено это двумя причинами. Во-первых, очень многие реальные систе­мы при некоторых ограничениях могут быть линеари­зованы. Правда, методы линеаризации не всегда столь просты, как в главах 1, 2 (см. также подглаву 4.3). Во-вто­рых, методы решения линейных дифференциальных или разностных уравнений, которыми в данном случае описываются объекты управления, - область, образно выражаясь, «без белых пятен».

Формализованным определением понятия линейно­сти в приложении к математической модели объекта управления является требование линейности функций F(X, U, t) и N(X, U, t). Функция f(X₁,Х₂,. . .,Х_n) на­зывается линейной, если выполнены условия:

1. (3.0.1)

2. (3.0.2)

3.1. Общая модель линейной непрерывной и дискретной сау

Требования линейности (3.0.1) и (3.0.2) приводят к описанию (моделированию) объекта управления в виде:

(3.1.1)

для непрерывных САУ и, соответственно,

X_k+l=A(t_k)X +B(t_k)U_k+C(t_k)ξ_k (3.1.2)

или X(k + 1)=A(t_k)X(k)+B(t_k)U(k)+C(k)ξ(k) (3.1.2a)

для дискретных САУ. Будем, как и раньше, считать возмущения малыми (ξ<<1) и отложим рассмотре­ние их проявлений до главы 7, а пока будем считать ξ=0 и работать с уравнениями

X(t)=A(t)X(t)+B(t)U(t), (3.1.3)

X_k+1=A(t_k)X_k+B(t_k)U_k. (3.1.4)

Характерной чертой линейных САУ является при­ложимость к ним принципа суперпозиции, который может быть сформулирован следующим образом. Пусть U_j(t) (j=1,2,...,k)- некоторые, вообще го­воря, различные, выбранные нами управления, а X_j(t)- соответствующие этим уравнениям траектории объекта управления в фазовом пространстве. Тогда для линейной САУ траектория движения объекта уп­равления X(t) при действии управления

(3.1.5)

будет равна

(3.1.6)

Этот принцип позволяет исследователю рассматривать результат действия каждого управления в отдельно­сти, независимо от действия других управлений.

Очень часто в литературе по традиции, сложив­шейся во времена разработки теории регулирования, управляющие воздействия U(t) называют входными сигналами и обозначают X(t), a X(t), в свою очередь, называют выходными сигналами, или реакцией систе­мы, и обозначают Y(t. Во избежание путаницы мы будем придерживаться обозначений главы 1.

Также очень часто линейные САУ описывают ли­нейным дифференциальным уравнением вида:

(3.1.7)

то есть в несколько иной форме, чем (3.1.3). Однако, по сути дела, описание (3.1.7) эквивалентно описанию (3.1.3) с точностью до обозначений.

Введем следующие обозначения:

(3.1.8)

и, соответственно,

(3.1.9)

тогда, рассматривая n-мерный вектор X(t={x(t),x₁(t), ..., х_п-1(t)} и m+1-мерный вектор U(t={u(t),u₁(t), ..., u_m(t)} (считаем m+1< n, что обычно выполняется в реальных САУ), а также оп­ределив матрицу А размерности п×п как

и матрицу В размерности n×(т + 1) равной

,

получим

(3.1.10)

Таким образом, уравнение (3.1.7) и система (3.1.3) эквивалентны между собой. Каждому решению x_i=X_i(t) уравнения (3.1.7) соответствует решение X(t)={x_i(t), x_i(t), ..., (t)} системы (3.1.3), и наоборот, каждому решению

X(t)={x₁(t), x₂(t), ...,x_n(t)}

системы (3.1.3) соответствует решение x(t)=x_i(t) уравнения (3.1.7), причем это соответствие одно­значно.

Замечание 3.1.1. Из общей теории обыкновен­ных дифференциальных уравнений в предположении, что элементы матрицы A(t)={a_ij(t)} и свободные члены f_i (t)= - непрерывные функции на интервале (0, τ), следует, что система (3.1.3) при любых начальных условиях

X(0)={x₁(0), x₂(0), .... х_п(0)} (3.1.11)

имеет решение на этом интервале, причем это решение единственное. Часто начальное условие (3.1.11) за­писывают в виде

Х(0)=Х₀ (3.1.12)

где Х₀ - некий постоянный n-мерный вектор.

Аналогично для уравнения (3.1.7) в предположе­нии, что

a_i(t) (i=l, 2, ..., n), f_i(t=b₀(t)u^m+ b₁(t)u^m+¹ ... +b_m(t)u

- непрерывные функции на интервале (0, Т), следует, что уравнение (3.1.7) при любых начальных условиях

(3.1.13)

имеет решение на этом интервале, причем это реше­ние единственное.

Эти утверждения следуют из одной из основных за­дач теории дифференциальных уравнений (обыкно­венных и с частными производными) - задачи Коши. Простейшая задача Коши состоит в том, что требуется найти определенную на полупрямой t≥t₀ вектор-функцию X(t), которая удовлетворяет уравнению

и при t=t_o принимает значение X₀, то есть X(t_o)=X₀. О.Коши в начале прошлого века доказал, что в пред­положении непрерывности f(X, t) для всех t и непре­рывной дифференцируемости по X эта задача всегда имеет решение, причем решение единственное и непре­рывно зависящее от начальных данных.

3.1.1. Решение системы линейных дифференциаль­ных уравнений с переменными коэффициентами. Бу­дем рассматривать нормальную систему линейных дифференциальных уравнений с переменными коэф­фициентами

(3.1.14)

или, в векторной записи,

(3.1.15)

В первую очередь исследуем однородную систему, то есть случай f(t)≡(f_i(t))≡0, i = l, 2, ..., п). Для од­нородной системы имеем

(3.1.16)

или, в векторной записи,

(3.1.17)

Установим простейшие свойства этих уравнений.

1. Если X(t)=X₀(t)- решение уравнения (3.1.17) - обращается в нуль при некотором значе­нии t₀:

X₀(t₀) = 0, (3.1.18)

то это решение тождественно равно нулю X_o(t)≡0, t_o< t < t_k. Такое решение называется тривиальным. Это свойство непосредственно следует из замечания 1, изложенного в конце предыдущего раздела.

2. Если векторные функции

X₁t), X₂(t), ..., X_r(t) (3.1.19)

- решения уравнения (3.1.17), то векторная функция

(3.1.20)

где c_l - константы, также является решением уравне­ния (3.17.1). Это свойство доказывается непосредст­венной проверкой.

3.Система решений (3.1.19) называется линейно зависимой, если существуют такие константы с_l(l=1,2,. . . . , r) , при которых

и (3.1.21)

В противном случае система решений (3.1.19) назы­вается линейно независимой.

Если хотя бы для одного значения t = t₀ векторы

X₁(t₀), X₂(t₀), …, X_r(t₀) (3.1.22)

оказываются линейной зависимыми, то решение (3.1.19) линейно зависимо. Действительно, допустим, что векторы (3.1.22) линейно зависимы, то есть выпол­нено условие (3.21) при t = t₀. Положим

(3.1.23)

В силу свойства 2 векторная функция (3.1.23) являет­ся решением уравнения (3.1.17), и так как X(t₀) =0, то X(t)≡ 0 в силу свойства 1.

Важнейшим понятием для однородных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений является понятие фундаментальной системы решений. Система

X₁(t), X₂(t), ..., X_n(t) (3.1.24)

решений уравнения (3.1.17) называется фундамен­тальной системой решений, если она линейно незави­сима. (Заметьте, что число решений фундаментальной системы равно порядку уравнения п.)

Докажем, что для уравнения (3.1.17) фундамен­тальная система всегда существует. Пусть Х_0i (i=1,2,..., n) - произвольная система линейно независимых векторов (п - порядок системы (3.1.17)). Опре­делим решения (3.1.24) начальными условиями

X_i(0)=X_0i (i=1, 2, ... п). (3.1.25)

Так как векторы X_i(0) (i=1, 2, . . . , п) линейно неза­висимы, то согласно свойству 3, решения (3.1.24) так­же линейно независимы, то есть составляют фундамен­тальную систему. Ясно, что, так как X_0i - произволь­ная система линейно независимых векторов, то фундаментальная система решений определяется не­однозначно.

Важность фундаментальной системы решений ста­новится понятной из следующего утверждения: любое решение X(t) системы (3.1.17) может быть представ­лено в виде

(3.1.26)

где X_l(t) (l=1,2, ...,п) - фундаментальная систе­ма решений, a c_l - надлежащим образом подобранные константы. Действительно, пусть t=to - некое значение времени t. Так как решения (3.1.24) линейно независимы, то векторы X_l(t₀) (l=1, 2, ..., п) ли­нейно независимы, и так как их число равно размер­ности рассматриваемого векторного пространства, то они составляют его базис, и по­этому любой вектор X(t_o) может быть разложен по этому базису, то есть могут быть найдены c_l(l=1, 2, . . . , п) такие, что

Решения X(t) и имеют общие начальные условия и поэтому в силу единственности решения (замечание 1) должны совпадать.

Таким образом, равенство (3.1.26) справедливо. Очевидно, что константы с_l (l=1, 2, ..., п) могут быть найдены из решения алгебраической системы уравнений:

(3.1.27)

Перейдем теперь к неоднородным системам:

(3.1.28)

Непосредственной проверкой легко убедиться, что если и - решения неоднородного уравнения (3.1.28), то

(3.1.29)

будет решением однородного уравнения (3.1.17). Сле­довательно, произвольное решение неоднородного ура­внения (3.1.28) может быть представлено в виде

, (3.1.30)

где - частное решение уравнения (3.1.28), X_l(t) (l=1,2,...,п)- фундаментальная система реше­ний однородного уравнения (3.1.17).

Зная фундаментальную систему решений однород­ного уравнения, можно найти частное решение неодно­родного уравнения. Этой цели служит метод вариации постоянных. Пусть известна фундаментальная систе­ма решений (3.1.24). Будем искать частное решение системы (3.1.28) в виде

(3.1.31)

где c_l(t) (l=1, 2, ..., п) - неизвестные функции. Подставив выражение (3.1.31) в уравнение (3.1.28), получим:

(3.1.32)

Принимая во внимание, что X_l(t) (l=1, 2, ... , п) - решения уравнения (3.1.17), имеем для определения функций c_l(t) векторное уравнение

(3.1.33)

Так как X_l(t) по определению - линейно независимые вектор-функции в каждой точке t, то из соотношения (3.1.33) величины могут быть однозначно опре­делены (решение алгебраической системы уравнений типа (3.1.27)), и потому величины с_l(t) можно найти в виде квадратур (интегралов). Используя эквива­лентность системы (3.1.3) и уравнения (3.1.7), не­сложно перенести полученные результаты решения си­стемы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений на решение обыкновенного дифференциаль­ного линейного уравнения (3.1.7).

На сегодняшний день нет общих аналитических методов нахождения фундаментальной системы реше­ний линейных дифференциальных уравнений с пере­менными коэффициентами. Однако, если известно нетривиальное (не равное тождественно нулю) решение x₁(t) однородного уравнения

(3.1.34)

то порядок этого уравнения можно снизить на еди­ницу, то есть свести его решение к решению линейного уравнения порядка п-1. Для этого надо ввести но­вую неизвестную функцию

(3.1.35a)

или, что то же самое, положить

(3.1.35б)

Такая замена может иметь место лишь на интервале, где x₁(t) не обращается в нуль.

Пример 3.1.1. Рассмотрим уравнение

Чтобы обеспечить непрерывность коэффициентов a_i(t), выберем в качестве интервала (t_o, t_k) один из интервалов (-∞, 0), (0, 1), (1,∞). Непосредствен­ным вычислением просто убедиться, что x₁(t)=1/t² есть одно из решений исходного уравнения. Подста­вим

в исходное уравнение, учитывая, что

Для искомой функции φ(t) получим уравнение

решение которого φ(t)=(t-1)² и соответственно

Окончательно

Нам осталось доказать, что решения x₁(t) и x₂(t) линейно независимы (требование фундаментальности системы). Покажем, что это так, например, на интер­вале (-∞, 0). Обращаясь к формулам (3.1.8), не­трудно видеть, что требование линейной независимо­сти решений x₁(t) и x₂(t) эквивалентно доказатель­ству того, что определитель

при любом . Вычислим величину W(t):

(непосредственным вычислением имеем W(t) = (t -1)²/t⁴), откуда

Так как x₁(t) и x₂(t) - решения уравнения

то, выразив и из этого уравнения через первые производные решений и сами решения, полу­чим Следовательно,

(3.1.36)

Таким образом, если W(t) равно нулю в какой-либо точке t₀, то W(t) = 0. И, наоборот, неравенство нулю W(t₀) влечет за собой W(t)≠0 для любого t рассматриваемого интервала. В нашем конкретном случае, взяв для простоты t=-1, получим W(-1)=4 (предоставляем читателю сделать выкладки самостоятельно), что доказывает линейную независи­мость найденных нами решений.

Исследование линейной независимости (зависимо­сти) системы решений можно обобщить на случай уравнений (3.1.3) и (3.1.7). Предлагаем читателю до­казать самостоятельно, что если рассмотреть опреде­литель

(3.1.37)

(называемый определителем Вронского) для уравне­ния (3.1.3) в случае его однородности, то есть равенства B(t)∙U(t)=0, то если система решений фундамен­тальна, определитель W(t) не равен нулю ни при ка­ком значении t. Далее, если система решений линейно зависима, то определитель Вронского тождественно равен нулю. Это непосредственно следует из формулы Лиувилля:

, (3.1.38)

где - след матрицы A(t), то есть сумма ее диагональных элементов.

Используя формулы (3.1.8) и выражение для мат­рицы W(t), в случае уравнения (3.1.7) получаем, что определитель Вронского будет иметь вид

, (3.1.39)

а формула Лиувилля

(3.1.40)

Вернемся к рассматриваемому нами примеру 1. Для него была найдена фундаментальная система ре­шений исследуемого уравнения. Продемонстрируем, как работает метод вариации постоянных для нахождения частного решения соответствующего неодно­родного уравнения, взяв величину свободного члена равной 1/(1 - t). Имеем

Следуя изложенному выше алгоритму данного ме­тода, будем искать частное решение в виде у=c₁(t)x₁(t)+c₂(t)x₂(t).

Система уравнений (3.1.33) в данном случае запи­сывается следующим образом:

Решая эту систему, получим Следовательно, для выбранного нами интервала (0, 1) частное решение

3.1.2. Краевые задачи. В предыдущем разделе были рассмотрены общие приемы решения линейных дифференциальных уравнений (систем уравнений) с переменными коэффициентами. В теории автоматиче­ского управления часто необходимо найти решение, которое в граничных точках заданного отрезка вре­мени удовлетворяет определенным условиям. Такими требованиями в простейшем случае являются условия нахождения объекта управления в начальный момент времени в некой точке фазового пространства и пере­вод его в точку цели, то есть для уравнения (3.1.3)

Х(0) = Х₀ и Х(Т) = Х_Т. (3.1.41)

В случае же уравнения (3.1.7) эти условия будут иметь вид

(3.1.42)

Ограничимся рассмотрением простейшего случая, когда уравнение (3.1.7) имеет второй порядок (n = 2):

а₀ (t) х" + а₁(t) х' + a₂(t)x = f (t), (3.1.43)

где a₀(t), a₁(t), a₂(t), f(t) - непрерывные функции на отрезке [0,Т] и a₀(t) не обращается в нуль. Краевые условия для уравнения (4.43) в общем случае запи­сывают в виде

(3.1.44)

(3.1.45)

Полагая f(t)=0 и h₁=h₂=0, получим однородную краевую задачу, которая соответствует данной неод­нородной краевой задаче.

Простейший пример однородной краевой задачи

при условии х(0)=х(π)=0 показывает, что нетри­виальное ее решение существует только при а=k², где k - целое число. Очевидно, что любая однородная краевая задача всегда имеет тривиальное решение.

Рассмотрим следующую краевую задачу:

t (3.1.46)

при условии

x(0)=1, x(1)=2 (0<p<π) (3.1.46а)

Нетрудно догадаться, что общее решение уравнения (3.1.46)

, (3.1.47)

где c₁, с₂ - произвольные постоянные. Используя ус­ловия (3.1.46), находим

Следовательно, решение краевой (3.1.46), (3.1.46а)

(3.1.48)

Однако когда решалась эта задача, нам «сильно повезло», то есть мы смогли определить частное решение уравнения (3.1.47) из-за его очевидности. В более сложных случаях пришлось бы искать частное решение, например, методом вариации постоянных, а за­тем использовать процедуру, аналогичную вышеизло­женной.

Существует метод, не требующий определения частного решения уравнения, и часто он оказывается проще для решения краевых задач. Этот метод осно­ван на нахождении функции Грина.