ОпределенияСтандартная модельКомплексное число можно определить как упорядоченную пару вещественных чисел ; запись следует понимать как удобный способ записи пары .

Введём операции сложения и умножения таких пар следующим образом:

• 

• 

Вещественные числа являются в этой модели подмножеством множества комплексных чисел и представлены парами вида , причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Ноль представляется парой единица — а мнимая единица — . На множестве комплексных чисел ноль и единица обладают теми же свойствами, что и на множестве вещественных, а квадрат мнимой единицы, как легко проверить, равен , то есть .

Несложно показать, что определённые выше операции имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. Исключением являются только свойства, связанные с отношением порядка (больше-меньше), потому что невозможно расширить порядок одиночных чисел, включив в него такие упорядоченные пары чисел, чтобы операции отношения порядка по-прежнему были согласованы.

Вопрос 54 Действия с комплексными числами, заданных в алгебраической формеСвойство сложени: Сумма двух комплексных чисел z1=a+bi и z2=c+di будет комплексное число вида z=z1+z2= a+bi + c+di = a+c +(b+d)i  Пример: 5+3i + 3−i =8+2i  Свойство вычитания: Разность двух комплексных чисел z1=a+bi и z2=c+di будет комплексное число вида z=z1−z2= a+bi − c+di = a−c +(b−d)i  Пример: . 5+3i − 3−i =2+4i  Свойство умножения: Произведение двух комплексных чисел z1=a+bi и z2=c+di будет комплексное число вида z=z1 z2= a+bi c+di = ac−bd +(ad+bc)i 

Пример: 3+2i 4−i =12−3i+8i−2i2=14+5i 

Свойство деления: Частное двух комплексных чисел z1=a+bi и z2=c+di будет комплексное число вида z=z2z1=c+dia+bi=c2+d2ac+bd+c2+d2bc−adi

Вопрос 55 Тригонометрическая форма комплексного числаКаждому комплексному числу геометрически соответствует точка на плоскости . Но положение точки на плоскости, кроме декартовых координат , можно зафиксировать другой парой — ее полярных координат в полярной системе (рис. 1.3,a).Величина является неотрицательной и для данной точки определяется единственным образом, а угол может принимать бесчисленное множество значений (при этом ): если точке соответствует некоторое значение , то ей также соответствуют значения . Например, если для точки (см. рис. 1.1) выбрать , то ей соответствует любое , в частности при . Если же выбрать , то , а при получаем .

Вопрос 56 Действия с комплексными числами, заданных в тригонометрической форме

Запись комплексного числа z = a + bi в виде z=r cos +isin   называется тригонометрической формой комплексного числа. Модуль комплексного числа: r= a2+b2  Аргумент комплексного числа: cos =ra sin =rb

Свойство умножения: Произведение двух комплексных чисел z1=r1 cos 1+isin 1   и z2=r2 cos 2+isin 2   будет комплексное число вида z1 z2=r1 r2 cos( 1+ 2)+isin( 1+

Вопрос 57 Свойство деления: Частное двух комплексных чисел z1=r1 cos 1+isin 1   и z2=r2 cos 2+isin 2  будет комплексное число вида z2z1=r2r1 cos( 1− 2)+isin( 1− 2)